Как измеряли расстояние до Луны без компьютера и калькулятора? Открытия древних математиков

Сегодня вычислительные мощности ^[1] растут экспоненциально. Это значит, что каждый год удваивается количество транзисторов на чипе, с помощью которых можно решать все более сложные задачи, создавать продвинутые нейросети и технологии. 

Но человечество совершало масштабные открытия, меняющие мир, задолго до появления компьютеров: древние ученые определяли радиус Земли и расстояние до Луны, вычисляли число пи и закладывали основы математической логики. Разбираемся, как они это делали без калькуляторов, процессоров и алгоритмов. 

Число пи: Архимед и многоугольники, вписанные в круги 

Еще древние египтяне и вавилоняне при строительстве использовали отношение длины окружности к диаметру. Одни считали значением 3,125, другие округляли чуть больше к 3,16. А в III веке до н. э. Архимед вывел приближенные границы числа пи между 3,1408 и 3,1429. 

Ученый использовал геометрический метод: помещал круг между вписанным и описанным многоугольниками, увеличивая количество их сторон. Периметр многосторонних многоугольников приближался к длине окружности, и так он дошел до 96-угольников. В результате получилось вычислить более точное значение соотношения длины окружности и диаметра. 

После Архимеда многие известные математики ^[3] использовали этот метод. А в XIV веке н. э. математик Мадхава выяснил, что число пи можно выразить и другим способом: как сумму и разность бесконечного числа дробей. 

Ученые и сегодня продолжают изучать число пи, поэтому активно применяют для этого возможности вычислительных устройств. Например, в 2022 году в Google рассчитали ^[4] 100 триллионов знаков после запятой за 158 дней, а совсем недавно команда энтузиастов поставила новый рекорд ^[5]: собрала суперкомпьютер и смогла рассчитать 300 триллионов цифр после запятой.

Интересно, что у числа пи есть целая фан-база и даже свой язык — «пилиш». По правилам языка длина всех следующих друг за другом слов должна соответствовать цифрам числа пи. То есть первое слово будет состоять из трех букв, второе — из одной, третье — из четырех и так далее. На «пилише» создают стихотворения и поэмы, самое длинное из которых соответствует десяти тысячам знаков числа. Первые строки выглядят так: 

31415926535  Now I fall, a tired suburbian in liquid under the trees,
8979323846   Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe.

Облачная инфраструктура для ваших проектов

Виртуальные машины в Москве, Санкт-Петербурге и Новосибирске с оплатой по потреблению.

Подробнее → ^[6]

Длина окружности Земли: Эратосфен и угол падения солнечных лучей 

Эратосфен жил в III веке до н. э. в Александрии, которая находилась на севере Египта. В полдень летнего солнцестояния весь город погружался в тень. При этом в Сиене, расположенной на юге страны, в то же самое время теней не было. Ученый уже знал, что земля круглая, поэтому, чтобы выявить закономерность, решил вычислить длину окружности планеты. 

Эратосфен понял, что для начала нужно вычислить градус отклонения солнечных лучей от зенита. Сделал он это с помощью скафиса — устройства в виде полусферы с иглой в центре, которое позволяло вычислять угол падения солнечных лучей. Он определил, что в Александрии солнце отклоняется от зенита на 7° 12′, или 1/50 окружности. 

Чтобы вычислить длину окружности, оставалось перемножить расстояние между городами на долю окружности, 1/50. В единицах измерения того времени расстояние составляло 5000 стадиев, около 800 км в метрической системе. А значит, длина всей окружности: 5000 стадиев × 50 = 250 000 стадиев, или примерно 40 000 километров. 

Расчеты Эратосфена оказались достаточно точны: реальная длина окружности составляет 40 075 километров. Его открытие позволило в дальнейшем создать первые карты с сеткой параллелей и меридианов. Это повлияло на развитие мореплавания, строительства и понимания географии в целом. 

Расстояние от Земли до Луны: Аристарх и треугольники

С древних времен люди связывали полнолуние, новолуние и промежуточные фазы Луны с волей богов. А в III веке до н. э. древнегреческий астроном Аристарх Самосский предположил, что дело не в потусторонних силах, а во вращении спутника вокруг планеты и в расстоянии между ними.

Аристарх заметил, что во время затмений Луна находится по отношению к планете под углом почти в 90 градусов. Тогда он решил вычислить расстояние до спутника. У него не было телескопов или других подходящих устройств — только геометрия, открытия предшественников и любопытство.

Ученый проделал четыре шага, чтобы найти искомое число: 

1. Нашел, как соотносятся расстояния Земля — Луна и Земля — Солнце. В этом ему помогли подобные треугольники и прямой угол, образующийся между планетой и спутником во время затмений. Получилось, что Солнце находится в 400 раз дальше, чем Луна. 

2. Выяснил, во сколько раз звезда больше спутника Земли. Для этого он снова обратился к небесному явлению, а именно к лунному затмению. Он предположил, что угловые диаметры Луны и Солнца одинаковы. В результате у него снова получились подобные треугольники. А звезда оказалась больше спутника также в 400 раз.

3. Вычислил радиусы Луны и Солнца. Ученый воспользовался тем же затмением, измерил тень планеты на Луне и выяснил, что радиус тени больше радиуса спутника примерно в 8/3 раза. Тогда Аристарх, изучив свойства касательных и окружностей, смог рассчитать, что Луна меньше Земли примерно в 3,66 раза, а Солнце больше Земли в 109 раз.

4. Рассчитал точное расстояние до Луны. Для этого он построил треугольник с прямым углом в центре спутника и его радиусом как одним из катетов. Аристарх знал катет, радиус спутника, и прямой угол, а также знал, что угол между планетой и спутником равен примерно полградуса.

Ученый оценил относительное расстояние от Земли до Луны в 486 400 км. Настоящее же — около 384 тысяч километров. Несмотря на просчет в сто тысяч километров, открытие стало удивительно точным для эпохи без оптики и часов и легло в основу дальнейшего изучения космоса и теорий относительно формы Земли. 

Интересно, что Аристарху во многом повезло: угловые диаметры планет оказались примерно равны, а погрешности при расчете радиусов Луны и Солнца в действительности незначительны. Все дело в особом взаимном расположении Солнца, Земли и Луны — если бы ученый жил на другой планете с другим спутником, вычислить расстояние таким способом ему не удалось.

Заключение

Пусть у древних ученых не было современных вычислительных мощностей, но благодаря любознательности и подручным способам они делали открытия, которые применяют последователи и даже наши современники. С помощью сегодняшних технологий и искусственного интеллекта ^[9] мы можем намного больше, поэтому будем следить за тем, какие открытия готовит нам мир.