Протоарифметика или Стратифицированная система без нуля: фундаментальные основания

Введение

Стратифицированная система без нуля представляет собой иерархическую конструкцию формальных языков, построенную на принципе постепенного введения абстракций без использования нулевых элементов на начальных уровнях. Данный подход решает фундаментальную проблему дуализма нуля в основаниях математики ^[1] и обеспечивает концептуальную чистоту формальных систем.

I. Концептуальные основания

1.1. Проблема дуализма нуля

В традиционных формализмах ноль играет двойственную роль:

• Как отсутствие объектов (пустота, ничто)

• Как полноценный математический объект с определёнными свойствами

Эта двойственность создаёт концептуальные противоречия при попытке строгого обоснования математики. Наш подход устраняет данную проблему через стратифицированное введение нулевых концептов на разных уровнях абстракции.

1.2. Принцип иерархического восхождения

Базовый принцип: Каждый уровень формализма добавляет новые абстракции, не нарушая непротиворечивости предыдущих уровней. Нулевые элементы появляются только там, где они концептуально необходимы и не создают семантических коллизий.

II. Архитектура системы

2.1. Уровень 1: Базовые формальные языки

2.1.1. Логика первого порядка без нуля

Сигнатура:

• Константа: 1

• Функции: S (унарная), + (бинарная), × (бинарная)

• Предикаты: = (бинарный), ≤ (бинарный)

• Логические символы: ¬, ∧, ∨, →, ↔, ∀, ∃

Термы:

t ::= 1 | x | S(t) | (t + t) | (t × t)

Формулы:

φ ::= t = t | t ≤ t | ¬φ | (φ ∧ φ) | (φ ∨ φ) | (φ → φ) | (φ ↔ φ) | ∀x φ | ∃x φ

Семантика в модели ℕ = {1, 2, 3, …}:*

• val(1) = 1 ∈ ℕ*

• val(S(t)) = val(t) + 1

• val(t₁ + t₂) = val(t₁) + val(t₂)

• val(t₁ × t₂) = val(t₁) × val(t₂)

Аксиомы:

A1: ∀x¬(S(x) = 1)                    [1 — минимальный элемент]
A2: ∀x∀y(S(x) = S(y) → x = y)        [инъективность следования]
A3: ∀x(x + 1 = S(x))                 [определение сложения]
A4: ∀x∀y(x + S(y) = S(x + y))        [рекурсивность сложения]
A5: ∀x(x × 1 = x)                    [определение умножения]
A6: ∀x∀y(x × S(y) = (x × y) + x)     [рекурсивность умножения]
A7: ∀x∀y(x ≤ y ↔ ∃z(x + z = y))     [определение порядка]
A8: [φ(1) ∧ ∀x(φ(x) → φ(S(x)))] → ∀xφ(x)  [схема индукции]

2.1.2. Язык Σ₀ (ограниченные формулы)

Ограниченные кванторы:

• ∀x ≤ t φ ≝ ∀x(x ≤ t → φ)

• ∃x ≤ t φ ≝ ∃x(x ≤ t ∧ φ)

Класс Σ₀-формул:

ψ ::= t = t | t ≤ t | ¬ψ | (ψ ∧ ψ) | (ψ ∨ ψ) | ∀x ≤ t ψ | ∃x ≤ t ψ

Ключевые свойства:

• Все Σ₀-формулы разрешимы (decidable)

• Интерпретация сохраняет истинностное значение при расширении модели

• Сложность проверки истинности полиномиальна по размеру ограничивающих термов

Примеры Σ₀-формул:

∀x ≤ S(S(1)) ∃y ≤ x (x = y + y)     [чётность чисел ≤ 3]
∃x ≤ S(S(S(1))) (x × x = S(S(S(S(1)))))  [существование квадратного корня из 4]

2.1.3. Язык Σ₁ (рекурсивно перечислимые формулы)

Класс Σ₁-формул:

θ ::= ∃y₁...∃yₙ φ, где φ ∈ Σ₀ и n ≥ 0

Характеризующие свойства:

• Множество истинных Σ₁-формул рекурсивно перечислимо

• Σ₁-формулы выражают свойство “существования свидетеля”

• Класс Σ₁ замкнут относительно конъюнкции и дизъюнкции

Примеры:

∃y ∀x ≤ y (x × x ≤ y)                [существование верхней границы для квадратов]
∃z ∃w (z + w = S(S(S(S(1)))) ∧ z ≤ w)  [представимость 4 как суммы]

2.2. Уровень 2: Протоарифметика

2.2.1. Концептуальная необходимость

Протоарифметика служит мостом между чистыми формальными языками (не содержащими нулевых элементов) и теоретико-множественными конструкциями. Здесь впервые появляется понятие “отсутствия” в виде пустой строки ε.

2.2.2. Формальная структура

Алфавит: {A, ε}, где A представляет единичный символ, ε — пустую строку

Основные операции:

• Конкатенация ∘: Σ* × Σ* → Σ*

• Длина len: Σ* → ℕ*

• Префиксное отношение ⊑

Аксиоматическая система:

P1: ∀s(ε ∘ s = s ∘ ε = s)              [нейтральность пустой строки]
P2: ∀s∀t∀u(s ∘ (t ∘ u) = (s ∘ t) ∘ u)  [ассоциативность конкатенации]
P3: ¬(ε = A)                            [различимость пустой строки и символа]
P4: ∀s∀t(s ∘ A = t ∘ A → s = t)        [правая сократимость]
P5: ∀s(s = ε ∨ ∃t(s = t ∘ A))         [структурная индукция]
P6: [φ(ε) ∧ ∀s(φ(s) → φ(s ∘ A))] → ∀s φ(s)  [принцип индукции по строкам]

2.2.3. Интерпретация и семантика

Стандартная модель: Множество всех конечных строк над алфавитом {A}, включая пустую строку.

Каноническое соответствие с ℕ:

• ε ↔ отсутствие объектов

• A ↔ 1

• AA ↔ 2

• AAA ↔ 3

• …

Ключевые свойства:

• len(ε) = 0 (в мета-языке, но не в объектном языке)

• len(A) = 1

• len(s ∘ t) = len(s) + len(t)

2.2.4. Теорема о корректности вложения

Теорема. Существует взаимно однозначное соответствие между Σ₀-формулами над ℕ* и их переводами в язык протоарифметики, сохраняющее истинностные значения.

Доказательство. Построим перевод tr: Σ₀(ℕ*) → Proto следующим образом:

• tr(1) = A

• tr(S(t)) = tr(t) ∘ A

• tr(t₁ + t₂) = tr(t₁) ∘ tr(t₂)

• tr(t₁ ≤ t₂) = tr(t₁) ⊑ tr(t₂)

Индукцией по структуре формул доказывается, что tr сохраняет истинность. □

2.3. Уровень 3: Теория множеств

2.3.1. Отображение строк в множества

Фундаментальное отображение:

ε ↦ ∅                    [пустая строка → пустое множество]
A ↦ {∅}                  [единичная строка → синглетон пустого множества]
AA ↦ {∅, {∅}}            [двойная строка → пара]

Общая схема (конструкция фон Неймана):
Для строки s длины n:

f(s) = {f(t) : t ⊑ s, t ≠ s}

2.3.2. Аксиоматическая база

Модифицированная система ZFC:

Z1: ∃!x ∀y(y ∉ x)                    [существование и единственность ∅]
Z2: ∀x∀y ∃z ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ x ∨ w ∈ y))  [объединение]
Z3: ∀x ∃z ∀w(w ∈ z ↔ ∀u(u ∈ w → u ∈ x))  [степень]
Z4: ∀x(x ≠ ∅ → ∃y ∈ x ∀z ∈ x(y ∩ z = ∅))  [регулярность]
Z5: ∀x∀y(∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y) → x = y)        [экстенсиональность]

Ключевое отличие: Аксиома бесконечности формулируется через существование множества, изоморфного образу протоарифметических строк.

2.3.3. Теорема о погружении протоарифметики

Теорема. Протоарифметическая структура (Σ*, ∘, ε, A) канонически вкладывается в теорию множеств через отображение f, сохраняющее все структурные свойства.

2.4. Уровень 4: Арифметика Пеано с нулём

2.4.1. Окончательное введение нуля

На данном уровне ноль ‘∅’ получает статус полноценного арифметического объекта через отображение:

'∅' ↦ 0 ∈ ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}

2.4.2. Стандартная система Пеано

Расширенная сигнатура:

• Константы: 0, 1

• Функции: S, +, ×

• Предикаты: =, <

Полная аксиоматика:

PA1: ∀x(S(x) ≠ 0)                    [0 не является следующим элементом]
PA2: ∀x∀y(S(x) = S(y) → x = y)       [инъективность следования]
PA3: ∀x(x + 0 = x)                   [0 — нейтральный элемент сложения]
PA4: ∀x∀y(x + S(y) = S(x + y))       [рекурсивность сложения]
PA5: ∀x(x × 0 = 0)                   [0 — поглощающий элемент умножения]
PA6: ∀x∀y(x × S(y) = (x × y) + x)    [рекурсивность умножения]
PA7: [φ(0) ∧ ∀x(φ(x) → φ(S(x)))] → ∀x φ(x)  [полная индукция с нулём]

III. Теоретические результаты

3.1. Теорема о непротиворечивости стратификации

Теорема (Основная). Если каждый уровень стратифицированной системы внутренне непротиворечив, то вся система непротиворечива.

Доказательство. Используем принцип математической индукции по уровням:

• База: Уровень 1 непротиворечив по предположению

• Переход: Если уровни 1,…,k непротиворечивы, то добавление уровня k+1 не может привести к противоречию, поскольку новые конструкции вводятся через консервативные расширения □

3.2. Теорема о полноте выразительности

Теорема. Стратифицированная система без нуля обладает той же выразительной силой, что и стандартная арифметика Пеано, но при этом избегает концептуальных проблем дуализма нуля.

3.3. Теорема о вычислительной эквивалентности

Теорема. Класс вычислимых функций в стратифицированной системе совпадает с классом примитивно рекурсивных функций на стандартных натуральных числах.

IV. Преимущества подхода

4.1. Концептуальная чистота

Каждый уровень системы имеет ясную онтологическую интерпретацию:

• Уровень 1: Чистая логика ^[2] и арифметика положительных чисел

• Уровень 2: Символьная манипуляция и комбинаторика

• Уровень 3: Теоретико-множественные конструкции

• Уровень 4: Полная арифметика с нулём

4.2. Педагогические достоинства

Система естественно отражает историческое развитие математических понятий и может служить основой для образовательных программ.

4.3. Основания для компьютерных наук

Протоарифметический уровень непосредственно соответствует манипуляциям со строками в программировании, что делает систему релевантной для теоретических основ computer science.

V. Приложения и расширения

5.1. Онтологическая энтропия

Стратифицированная система обеспечивает естественную градацию сложности, что критически важно для определения онтологической энтропии на различных уровнях абстракции.

5.2. Формальная верификация

Система может служить основой для верификации программ, где различные уровни соответствуют разным степеням абстракции кода.

5.3. Искусственный интеллект

Иерархическая структура делает систему подходящей для представления знаний в ИИ-системах с явным контролем уровня абстракции.

Заключение

Стратифицированная система без нуля представляет собой инновационный подход к основаниям математики, решающий фундаментальные концептуальные проблемы через иерархическое введение абстракций. Система обеспечивает необходимую теоретическую базу для развития формальной теории онтологической энтропии и имеет значительный потенциал для приложений в различных областях математики, логики и компьютерных наук.