Понятия способ, случай, действие и его свобода, причина, измерение, предположение и его верность, игра, поведение и ум

Радченко Андрей Леонидович, примеры https://goo.su/dF5r ^[1]

В данной работе приведены около девяноста новых определений понятий (НОП), включая указанные в заголовке. Предложенные НОП имеют следующие преимущества: при их составлении соблюдена математическая точность, непротиворечивость в том числе с существующими понятиями в математике ^[2], больше соответствуют естественному русскому языку, краткие, большинство не содержат формул. НОП обозначаются словами «исконно русского языка», то есть часть русского языка, из которого исключены заимствования из других европейских языков. Приведенные НОП призваны дать качественную замену похожим понятиям в математике (ППМ), имеющим по сравнению с НОП следующие неустранимые недостатки:

1. присутствует множество противоречий в описании ППМ, что нарушает все четыре основных закона логики (ОЗЛ) (тождества, не противоречия, исключенного третьего и достаточности основания согласно [Лог03]), а в НОП таких противоречий гораздо меньше;

2. ППМ имеют многословное название, что существенно ухудшает понимание и составление текстов с их использованием;

3. названия ППМ как правило являются заимствованными словами, что приводит к худшему пониманию ППМ по сравнению с содержащимися в НОП словами;

4. ППМ выглядят оторванными от насущной жизни в отличии от названий НОП;

5. ППМ имеют достаточно громоздкие описания, что не позволяет включать их в школьную программу, в отличии от кратких НОП;

6. в описаниях ППМ содержится множество математических формул, тогда как НОП составлены без них;

7. при составлении НОП использованы правила «чистого кода» из [Чкод19] (соответствие Карри-Ховарда обосновывает уместность этих правил в математике), в том числе использованы принципы объектно-ориентированного и функционального программирования взамен императивному в описаниях многих ППМ;

8. НОП являются результатом рефакторинга языка математики и обратной разработки русского языка с целью достижения удобства использования как с точки зрения ^[3] математики, так и с точки зрения русского языка;

9. НОП наглядны в отличии от абстрактных ППМ, и по каждому НОП легко представить наглядный пример;

10. такие важные понятия как интеллект ^[4], случайность ^[5], гипотеза, алгоритм не являются ППМ или не имеют точных описаний.

НОП в данном докладе пронумерованы и подписаны «О.», что означает «описание понятия», но может более привычно расшифровываться как «Определение». Даже неподготовленного читатель может ознакомиться с примерами НОП в опроснике [Форма]. ППМ описаны в большом количестве источников, например, в [ЭнцДК], [Вер99], [ТИ15]. Слово «определение» является названием НОП37, в котором ему придано несколько другое значение, нежели «дефиниция» в математике, означающая «описание понятия».

Считаю, что ППМ «множество» является «симулякром» (про слово «симулякр» подробнее в [Симулякр98]). «Симулякр» переводится как «подделка понятия», и ППМ «множество» является подделкой для НОП1 «сущность» или для НОП13 «совокупность» с обозначением 6, совпадающим с обозначением множеств. Думаю, что большинство понятий математики являются подобными подделками. Это легко доказуемо для большей части понятий математического анализа, относящихся к ППМ28 «функция», которым соответствует НОП24 «дело». Выработка ^[6] НОП для основ математики, теории вероятностей, математической статистики, теории алгоритмов, науки искусственный интеллект вызвало существенные сложности, что привело к появлению этой статьи.

В первый раздел вынесено описание недостатков основных понятий математики «упорядоченная пара», «упорядоченное множество», «прямое произведение», «отношение», «соответствие», «кортеж». Перечислим содержащиеся в докладе названия НОП и через тире название их ППМ.

Связанные со способом понятия:

сущность — отношение, ничто — пустое множество, ход — упорядоченная пара, сущность данной сущности — подмножество, совпадение — равенство, часть — собственное подмножество, условие — переменная функции, цель x←X — элемент множества x∈X, объединение сущности — объединение множеств, двухстрочная запись сущностей — двухстрочная запись подстановок, обратная для сущности ←f — инволюция f^-1, состояние сущности — вершина ориентированного графа, задача — массовая проблема, вид — образ отношения, совокупность — множество, набор — граф, выбор — потомки вершины в орграфе, сочетание из сущности по данному количеству — сочетание m элементов по n элементов, петля — цикл подстановки единичной длины, опыт ^[7] — простой путь в орграфе, связь — триплет, решение — вывод формулы, способ — алгоритм, применение — применимость алгоритма, дело — функция, выполнение сущности — элемент декартового произведения множеств, свобода сущности — свободная переменная.

Связанные с выражением понятия:

выражение — формула, понятие — определение, понимание — семантика в теории моделей, обозначение для понимания — предикат, пример в сущности — аппликация в лямбда-исчислении, значение в сущности — значение функции, предписание для сущности — программа, выполнение сущностью — лямбда-абстракция, нуль — единица как ординальное число Фреге — Рассела, определение — форма формулы, понимание — нахождение нормальной формы чего-либо, единица — двойка как натуральное число Фреге — Рассела, истина — истинность высказываний, свойство сущности — содержащее данный элемент множество, признак сущности — называемое признаком утверждение.

Связанные со случайностью понятия:

вращение — цикл, случай — ациклический орграф, испытание сущности — элементарное событие, случайный ход — одноэлементное событие, вероятность случайного хода — вероятность элементарного события, событие — случайное событие, исход — принятие случайной величиной заданного значения, достоверное событие — пространство элементарных событий, вероятность наборного события — классическое описание вероятностей, осуществление сущности — наступление (реализация) события, действие — дисретная случайная величина, вероятность события, являющегося сущностью осуществления действия — вероятность цилиндрического множества, способность сущностей — пересечение сущностей, вероятность при событии — условная вероятность, прошлое сущности в случае — условие для случайных событий, причина сущности в случае — положительная корреляция, следствие сущности — статистика, верность сущности при событии — мощность критерия.

Связанные с числом понятия:

кол — натуральное число как ординальное из определения Фреге — Рассела, уровень — целое число, количество — натуральное число, слово — кортеж, упорядоченное по сущности слово — сортированный массив, запись для понимания — формула, описание для представления — определение, язык — язык программирования, словарь — библиотека языка программирования, юникод — буква, наборная доля — дробная честь конечной цепной дроби, последовательность — последовательность, доля — не меньше нуля и меньшая единицы цепная дробь, отрицательная бесконечность — минус бесконечность, величина — действительное число, число — комплексное число, замер при случае — статистическая оценка, измерение — случайная величина.

Связанные с поведением ^[8] в игре понятия

видимость сущности — гомоморфизм графов, сведение о данном ходе — гомоморфизм, сведение о сущности — гомоморфный граф, завершение сущности — выигрыш игрока, игра — динамическая игра, участник игры — игрок, дележ в игре — коалиция интересов в игре, поведение ^[9] участника в игре по видимости — стратегия игрока, мышление — дискретный объект, ум по видимости для игры — игровой искусственный интеллект.

ППМ «пара», «отношение»

Здесь и далее по списку будут даны ППМ с их описанием и указанием их противоречивости.

ППМ1 «упорядоченная пара». На рисунке представлена цитата Л.Д.Кудрявцева из статьи про функцию энциклопедии [ЭнцСЯ] с описанием понятий: пара, упорядоченная пара, произведение множеств и функция.

Согласно энциклопедии упорядоченная пара (a,b) содержит только различные элементы, случай одинаковых не учтен: при одинаковых элементах совокупность A={a,a} — не пара. При a не равном b элементами упорядоченной пары (a,b) являются a и {a,b}. При этом второй элемент пары не является элементом пары, что нарушает основной закон логики (ОЗЛ) тождества в описании понятия «элемент пары». Данное определение «упорядоченной пары» для корректности требует выполнение аксиомы регулярности в теории множеств, что сужает применимость данного определение. Такое же определение используется в издании 2012 года учебника Л.Д.Кудрявцева [Куд12], хотя в издании 2015-го года уже убраны подобные определения. Такое описание ППМ «упорядоченная пара» приводит к нарушению ОЗЛ о непротиворечивости.

Понятие упорядоченной пары используется довольн�� широко в указанной энциклопедии: в определении последовательности [ЭнцКО], определении бинарного отношения [БинО], определении прямого произведения. Согласно этой же энциклопедии упорядоченная пара не является кортежем, однако обозначение кортежа (a,b) соответствует обозначению упорядоченной пары, то есть упорядоченная пара отождествляется с кортежем — отображением из множества {1,2}. При отождествлении неизбежно происходит нарушение ОЗЛ тождества. В описаниях ППМ это происходит без всякой выгоды, а причина состоит в использовании противоречивого похожего на ППМ7 «множество».

Упорядоченная пара имеет множество других перечисленных в [Pair] описаний: по Куратовскому {{a},{a,b}} (см. [Кур70]), по Винеру {{{a},{}},{{b}}}, по Хаусдорфу {{a,1},{b,2}}, варианты {{b},{a,b}}, {a,{a,b}}, {{0,a},{1,b}}, а также по Кантору-Фреге (a,b)={R : aRy} и Морзе ({0}×s(a))∪({1}×s(b)), где s(x) = {∅}∪{{t} | t ∈ x}. И непонятно, почему именно один из вариантов более предпочтителен. Само выражение (a,b) уже содержит упорядоченные знаки, то есть желательно описать понятие «выражение» до определения упорядоченной пары. Функция взятия первого элемента пары сама по себе является объединением пар. Так что понятие упорядоченной пары является более основательным для своего описания. Множественность описаний ППМ «упорядоченная пара» говорит о нарушении при их составлении ОЗЛ достаточности основания.

Согласно [UOPair], неупорядоченная пара записывается выражением {c,d}, то есть упорядоченная по Куратовскому пара является неупорядоченной парой, или даже так: множество {{a},{a,b}} является упорядоченной неупорядоченной парой. Очередной оксюморон — нарушение логического закона не противоречия. Свойство упорядоченности не является отрицанием для неупорядоченности. Более того, слово «упорядоченный» предполагает порядок или отношение порядка, а для определения отношения порядка уже должно быть определено понятие пары. Упорядоченной парой (a,a) по Куратовскому является также одноэлементным множеством {{a}}, и сейчас такое множество чаще не относят к неупорядоченным парам, то есть понятие неупорядоченная пара также не определено однозначно. То есть большинство описаний понятий «пары» и неупорядоченной пары содержат нарушения ОЗЛ исключенного третьего, не противоречия, достаточности основания.

Таким образом понятия упорядоченная/неупорядоченная пара противоречивы. Словосочетание «упорядоченная пара» неудобно к использованию, поскольку в названии содержит два слова. Слово пара происходит от лат. рār «равный; пара», то есть с точки зрения этимологии пара может быть только неупорядоченной. Словообразование показывает нарушение ОЗЛ достаточности основания и непротиворечивости при использовании слова «пара».

ППМ2 «упорядоченное множество». Согласно [ЭнцСЯ] упорядоченное множество — множество, на котором введено отношение порядка. То есть пара {1,2} является неупорядоченной парой и является упорядоченным множеством, поскольку на множестве чисел введено отношение порядка. Очередной оксюморон с нарушением всех ОЗЛ.

ППМ3 «прямое произведение». Согласно [ЭнцКО] прямым произведением двух множеств является множество упорядоченных пар, также оно повторено в определении функции в [ЭнцСЯ]. В энциклопедии написано, что это произведение отождествляется с множеством отображений чисел {1,2}, то есть отождествляются два разных объекта, чем нарушается закон тождества. Образуется частично порочный круг в определении функции через прямое произведение, а прямого произведения через функцию. Такой порочный круг определений высмеян в рассказе «Путешествии четырнадцатое» С.Лема [Сепульки] на примере определений «сепулек». Прямым произведением нескольких множеств является множество отображений из множества чисел от одного 1 до n, то есть через порочное описание ППМ6 «кортеж». Так отождествлять это все равно, что отождествлять первую курицу и первое яйцо: первое яйцо появилось гораздо раньше первой курицы. Подобные отождествления приводят к нарушению всех ОЗЛ.

ППМ4 «отношение». Согласно определению 1977 года в [БинО] и [ЭнцАГ] С.Д. Матвеевича бинарное отношение — двухместный предикат, но дальше в статье идет речь о бинарном отношении как подмножестве прямого произведения. То есть здесь уже встречается неспособность С.Д.Матвеевича определиться с тем, является ли отношение выражением или является подмножеством декартова произведения. Такая путаница это как спутать исходный код программы, который пишет программист, с ее выполнением, которое осуществляет тестировщик. Также и в определении отношения из [ЭнцОС] говорится, что это предикат, а далее говорится о декартовом произведении, а затем о множестве отображений чисел от 1 до n. Есть три разных понятия: предикат (выражение), подмножество прямого произведения, множество отображений из множества {1,2}. Все эти три понятия называются в энциклопедии бинарным отношением (или предикатом), вместо того, чтобы для каждого из этих трех понятий дать свое название, чтобы не нарушать логического закон тождества. Из этих трех понятий следовало бы хотя бы одно определить без ссылок на остальные или на определение предиката или на определение функции (подробнее ППМ16 «функция»), определения которых ссылаются на определение отношения. Такой порочный круг определений высмеян в рассказе «Путешествии четырнадцатое» С.Лема [Сепульки] на примере определений «сепулек». Такое использование слов «предикат», «отношение», «отображение» в куче все равно, что курицу называть курицей и яйцом, и яйцо называть курицей и яйцом. Это тройное именование противоречит всем ОЗЛ.

ППМ5 «соответствие». В [ЭнцСЯ] дается определение соответствия как подмножество прямого произведения A×B как обобщение понятия «бинарное отношение» — как подмножество прямого произведения A×A. Тогда соответствие является частным случаем бинарного отношения, ведь A×B является подмножеством (A⋃B)×(A⋃B). Таким образом, нет различий между этими двумя понятиями «соответствие» и «бинарное отношение». Почему-то это соответствие R между элементами множества A и элементами множества B отождествляется с совсем другим объектом — являющейся ППМ6 «кортежем» — тройкой (R,A,B), тем самым нарушая логический закон тождества. Такое тройное именование противоречит всем ОЗЛ.

ППМ6 «кортеж». Согласно описанию В.Н.Гришина в [ЭнцКО] кортеж — конечная последовательность <x₁,…,x_n> или x₁,…,x_n. Но это противоречит определению последовательности Л.Д.Кудрявцева из этого же тома — функции, определенной на множестве всех натуральных чисел. Однако, сам же Л.Д.Кудрявцев указывает, что под конечными последовательностями некоторые авторы подразумевают отображение из множества чисел от 1 до n и обрамляют перечисление значений фигурными скобочками. Там же Л.Д.Кудрявцев называет направленность обобщением кортежа. В определении отношения Д.М.Смирнова в [ЭнцОС] кортеж назван системой и заключен в круглые скобки. То есть математики в рамках одного тома математической энциклопедии не могут определиться с тем, в какие скобочки заключать кортеж. Согласно определению из [Кор��еж] и [Set99] кортеж определен так 〈 〉 = ∅;〈x₁〉= x₁;〈x₁, x₂〉= { {x₁}, {x₁, x₂} };〈x₁, x₂, x₃〉 = 〈 〈x₁, x₂〉, x₃ 〉;〈x₁, x₂, x₃, x₄〉=〈〈x₁, x₂, x₃〉, x₄ 〉,…,〈x₁, …, xₙ〉 =〈〈x₁, …, xₙ₋₁〉, xₙ〉. Получается, кортеж (a,b) может совпадать с кортежем (c,d,e), и вообще любой элемент любого множества может являться кортежем. Это противоречит всем ОЗЛ и определению кортежа из математической энциклопедией.

Связанные со способом понятия

О.1. Сущность — все, что угодно. В частности, каждый из примеров данной статьи является примером сущности. Сущности могут иметь ходы. ППМ: отношение как подмножество прямого произведения двух множеств, бинарное отношение, многозначная функция, двумерная фигура, множество.

О.2. Ничто — сущность, которая не имеет ходов. Обозначается {}. ППМ: пустое множество.

ППМ7 «множество». Множество из одного элемента или из нуля элементов — это оксюморон с точки зрения русского языка. В естественном языке слово «множества» означает совсем другое. Не нужно привносить дополнительное понятие «множество», если все что угодно является «множеством», поскольку это нарушает в первую очередь ОЗЛ достаточности основания.

О.3. Ход — сущность, у которой только одно условие, только одна цель, и только один ход — сама эта сущность. Будем говорить, что ход (идет) от своего условия к своей цели. Ходовая сущность — сущность, являющаяся ходом. ППМ: упорядоченная пара, кортеж, неупорядоченная пара чисел, не сортированный массив из двух элементов, одноэлементное бинарное отношение, отношение мощности один, дуга в орграфе, точка.

ППМ8 «элемент пары». Про противоречивость понятия второй элемент пары сказано в ППМ1 «упорядоченная пара». Мало того, что элемент пары имеет множество названий, каждое из них содержит не менее двух слов, что излишне усложняет восприятие математических записей. Согласно данной статье понятие «элемент множество» может быть заменено «цель сущности» или «условие сущности». Использование словосочетания «элемент пары» приводит к нарушению всех ОЗЛ.

О.4. Сущность данной сущности — сущность, каждый ход которой является ходом данной сущности. При этом будем говорить, что первая сущность во второй сущности. ППМ: подмножество, обозначение X⊂Y, подмножество бинарного отношения.

ППМ9 «подмножество». Для столь востребованного отношения между множествами используется выдуманное слово, являющегося калькой с английского subset. В русском языке есть более подходящие слова для описания такого отношения: например, предлог «в».

О.5. Ничто совпадает только с собой. Два хода совпадают, если их условия совпадают, и их цели совпадают. Первая сущность совпадает со второй сущностью, если первая сущность является сущностью второй сущности, а вторая сущность является сущностью первой сущности. ППМ: равенство множеств, совпадение в выборке.

ППМ10 «равенство». Слово «равенство» русского языка означает то, что математики называют отношением эквивалентности — отношением, обладающим свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Например, можно сказать, что два человека равны например, по росту (или перед законом согласно статье 19 Конституции РФ), но нельзя сказать эти два человека совпадают. Слово «равенство» в математике иногда употребляется не с тем значением, как принято в русском языке. В данной статье не указаны случаи, когда лучше употреблять это слово.

О.6. Если первая сущность во второй сущности, и они не совпадают, то первая сущность является частью второй сущности. ППМ: собственное подмножество.

ППМ11 «собственное подмножество». Словосочетание из двух используемых только в математике слов излишне усложняет восприятие, ведь есть такая прекрасная замена как «часть».

О.7. Условие сущности — условие хода сущности. Цель сущности — цель хода сущности. ППМ: «переменная функции» (ППМ16), индекс элемента последовательности, первая/вторая проекция пары, первая/вторая координата пары, первый/второй элемент пары, элемент множества.

О.8. Объединение сущностей — сущность, являющаяся ходами которой являются все ходы объединяемых сущностей и только они. Объединение (целей) данной сущности — сущность, являющаяся объединением целей данной сущности. ППМ: объединение набора множеств, аксиома объединения теории множеств Цермело — Френкеля.

ППМ12 «объединение множеств». Приведу рисунок с цитатой описания этого ППМ М.И. Войцеховским из [ЭнцКО].

Из описания не ясно, является ли такое объединение унарной операцией. Использование множеств с индексами означает то, что рассматривается бинарное отношение {(α, A_α), α∈B} и в результате объединения берется множество, содержащее все элементы вторых элементов элементов этого отношения. Сказано, что «объединение множеств, образующих данную совокупность» так называется, но не сказано, могут ли другие объекты так называться. Также не сказано, что такое объединение, например, двух множеств. То есть данное «определение» не соответствует требованию четкости и ясности. В целом данное «определение» удовлетворительно описывает понятие «объединение» и по сути совпадает с понятием «объединение сущностей».

Пример 1. Сущность X={(2,3), (4,3)}. При этом числа 2 и 4 являются условиями сущности X, число 3 — цель сущности X. Сущности {(2,3)}, {(4,3)} являются ходами сущности X, причем данная сущность содержит два хода и их объединяет, а способность сущности X в сущности {(2,3),(3,0)} является ходом {(2,3)}. Ниже определены числа как сущности.

Обозначение 1. Сущности будем записывать так же, как принято записывать отношения в математике, когда в фигурных скобочках указывают список упорядоченных пар. Также будем использовать такие обозначения:

ППМ13 «двухстрочная запись подстановки». Приведем цитату из [ЭнцКО] с описанием двухстрочной записи подстановки

Обозначение 2. X⊂Y — читается также как «сущность X в сущности Y» или «сущность X является сущностью сущности Y». Знак даже похож на первую букву слова «сущность».

Обозначение 3. y←f — сущность y является целью для сущности f. ППМ: элемент множества, область определения функции, область значений функции, переменная функции.

О.9. Обратный для данного хода — ход, целью которого является условие данного хода, а условием — цель данного хода. Обратной для сущности будем называть объединение обратных для всех ходов этой сущности. ППМ: биекция, инволюция, обратное отношение, граф.

ППМ14 «инволюция». Согласно статье «Соответствие» энциклопедии [ЭнцКО] инволюция по сути и есть обратное сущности. Похоже создатель статьи В.И.Соболев не хотел употреблять термин «обратное для отношения», чтобы можно было говорить, что у не биективных функций нет обратного. Обозначение для обратной функции в виде верхнего индекса «-1» может вводить в заблуждение в связи с тем, что совпадает с обозначением для прообраза множества, и в связи с тем, если употребляется для обозначения взятия обратного элемента в группе, элементами которой являются кортежи, то есть функции. «Инволюция» — лишнее слово, вместо которого вполне подходит «обратное».

Обозначение 4. ←f — сущность, являющуюся обратной для сущности f.  Тогда то, что сущность x является условием сущности f,  записывается как x←←f.

ППМ15 «элемент множества». Вместо записи «элемент множества x∈X» в большинстве может быть заменен на более удачное «цель x←X» или «условие x←←X».

Пример 2. Верно тождество

ППМ16 «переменная функции». Понятие «переменная» в математике не то же самое, что переменная в программировании, ведь у переменной в программировании выделена область памяти ^[10], и она может переопределяться. Вместо выражения «переменная x функции f» или «переменная y=f(x)» предлагается использовать согласно обозначениям 3 и 4 выражения «x←←f» и «x←f» соответственно. «Переменная» — лишнее слово, вместо которого вполне можно употреблять слова «сущность» или «цель» или «условие» или название другого НОП.

О.10. Состояние сущности — сущность, которая является условием или целью сущности. Конец сущности — цель сущности, которая не является условием сущности. Начало сущности — условие сущности, которое не является целью сущности. Промежуточная цель сущности — цель сущности, которая не является концом сущности. ППМ: вершина в орграфе, лист в графе, конечная вершина в графе, (и-)сток в сети как орграфе.

ППМ17 «вершина в орграфе». Данное понятие определено только для графов с конечным числом вершин и с точки зрения естественного языка неуместно, ведь состояния сущности могут не быть сверху как «вершина». «Вершина в орграфе» — неудачное наименование, которое слишком узко понимается.

О.11. Задача — сущность, у которой каждое условие не является целью. Заметим, что у задачи все цели являются концами, нет промежуточных целей. ППМ: индивидуальная задача, алгоритмическая проблема, массовая проблема, задача.

ППМ18 «массовая проблема». Понятия алгоритмическая проблема в [Дис04] описывается как «проблема, в которой требуется найти единый метод(алгоритм) для решения бесконечной серии однотипных единичных задач». Массовая проблема описывается как «проблема нахождения алгоритма для решения бесконечной серии однотипных задач, зависящих от некоторого параметра». То есть это не математические описания понятий, связанных с задачей. Подобные не четкие описания подобных понятий представлены в [Усп87], [Иго16]. В теории алгоритмов часто под задачей подразумевается массовая проблема, при решении которой алгоритм должен выдать один из выходов «Да» или «Нет», то есть сужается понятие проблема. Определение отсутствует.

О.12. Вид первой сущности со второй сущности — объединение всех ходов первой сущности, условиями которых является вторая сущность. Вид сущности — объединение ходов сущности, имеющих одинаковые условия. Вид — объединение ходов, имеющих одинаковые условия. ППМ: тип переменной, образ отношения, SQL-запрос SELECT и команда GROUP BY.

ППМ19 «образ отношения». Приведу рисунок с цитатой статьи «соответствие» из [ЭнцСЯ].

Там же в статье о функции говорится, что если (x,y)∈f, то y называется образом функции при том, что функция была определена как частный случай отношения или соответствия. То есть имеется три сущности, которые подразумеваются под понятием «образ функции». Этим нарушается ОЗЛ тождества.

О.13. Совокупность — сущность, каждый ход которой имеет условием ничто. ППМ: множество, унарное отношение, одномерное пространство.

ППМ20 «совокупность». В [ЭнцСЯ] понятие «совокупность» отождествляется с понятием «множество» и «набор». Излишне расточительно и бессмысленно использовать для одного понятия несколько наименований. В большинстве случаев вместо совокупности следовало бы использовать сущность, состояниями которой являются элементы совокупности. ППМ «Совокупность» следует заменять на НОП, в частности на НОП «совокупность».

Обозначение 5. {x: P(x)}_a — обозначение для вида, каждым условием которого является сущность a, а каждая цель x обладает свойством P.

Обозначение 6. {x: P(x)} — совокупность, обозначающая вид {x: P(x)}_{}.

Пример 3.

.

Пример 4. {x: x — нечетное целое число}₁ — вид, усл��вием которого является 1, а целями являются всевозможные нечетные числа.

О.14. Набор — ничто или сущность, полученная объединением набора с ходом. Наборная сущность — сущность, являющаяся набором. ППМ: орграф, упорядоченный набор, выборка, размещение, комбинация, неупорядоченный набор, массив, список, кортеж, смешанный граф, вектор, система векторов, строка матрицы, система инцидентности.

ППМ21 «граф». Вот что пишет Ф.Харари в начале второй главы [Хар73] про слово «граф»: «Большинство специалистов по теории графов употребляют в книгах, статьях и лекция свою собственную терминологию. На конференциях по теории графов каждый выступающий, чтобы избежать неправильного понимания, считает необходимым определить прежде всего язык, которым он будет пользоваться. Даже само слово «граф» не является священным. Некоторые авторы действительно пределяют «граф» как граф (конечный неориентированный граф без петель и кратных ребер), другие же имеют в виду такие понятия, как мультиграф, псевдограф, ориентированный граф или сеть. Нам кажется, что единообразие в терминологии теории графов никогда не будет достигнуто, но, может быть, оно и не к чему». Его предсказание пятидесятилетней давности сбылось, что будет доказано в этом разделе. Согласно данной статье словосочетание «обыкновенный граф» прекрасно может быть заменено на «набор, не имеющий общих ходов со своим обратным» или на «набор, совпадающий со своим обратным».

В [Дис04] граф определяется В.Е.Тараконовым как кортеж из двух объектов (V,E) — инцидентности система, состоящая из пары множеств V, E с непустым V, в которой а) каждый элемент e∈E (ребро) инцидентен в точности двум элементам из V (вершинам) и б) каждая пара вершин инцидентна не более чем одному ребру. Там же инцидентности система — совокупность (S,B,I) двух непустых множеств S,B с отношением инцидентности I между элементами этих множеств. То есть сходу приравняли двойку и тройку объектов (инцидентности систему). Зачем-то вводится понятие отношение инцидентности, когда и так существует ППМ «соответствие». Данное определение «графа» обобщает другие определения, например, из [Оре80], которое представлено на рисунке.

Понятия «ориентированный граф» дано В.Н.Сачковым в статье «Графов перечисление» [Дис04] как упорядоченную пару объектов, первый из которых является множеством вершин, а второй бинарным отношением на множестве вершин. При этом понятие «граф» оказывается частным случаем ориентированного графа, если второй из указанной пары объектов является симметричном антирефлексивным отношением. Согласно правилам же дачи русского языка ориентированный граф должен являться графом. В [ЭнцАГ] В.П.Козыревым граф описывается как «множество V вершин и наборе E неупорядоченных и упорядоченных пар вершин; обозначается Г. Через G(V,E). неупорядоченная пара вершин называется ребром, упорядоченная пара — дугой. Граф, содержащий только ребра, называется неориентированным; содержащий только дуги, — ориентированным». По такому описанию любой граф является неориентированным, поскольку дуга является неупорядоченной парой по определению упорядоченной пары. По причине разночтений в описании понятия «граф» возникают разночтения и в описании значений других слов из теории графов.

Само слово «граф» происходит от «graphica», что переводится как «рисунок». Но граф по определениям — совсем не рисунок и с рисованием имеет мало общего: на рисунок похоже понятие «укладка графа». Описание графа как двойки объектов приводит к тому, что граф с дополнительным объектом (например, помеченной вершиной) как тройка объектов перестает быть графом. То есть слово «граф» — избыточно слово, может сбивает с толку. К различным неудобствам и нарушениям ОЗЛ приводит употребление слов из теории графов. Несмотря на это, остается востребованность в использовании для случая «бесконечных графов» терминов из теории графов, вместо которых можно использовать НОП.

О.15. Выбор сущности — наборный вид сущности. Данное НОП используется лишь в НОП22, и дано, поскольку хотелось описать значение слова «выбор». Сочетание — выбор, условием которого является ничто. ППМ: потомки вершины в орграфе, сочетание, полустепень исхода вершины в ориентированном графе, аксиома выбора.

ППМ22 «аксиома выбора». Аксиома выбора согласно [ЭнцАГ] звучит так: «для всякого семейства F непустых множеств существует функция f такая, что для всякого множества S из F имеет место f(S)∈S (при этом f называется функцией выбора на F)».Согласно значениям слов русского языка выбор можно сделать, и когда он сделан появляется соответствие между множеством, откуда выбирается элемент а и самим элементом. То есть то, что называется функцией выбора можно было бы назвать «деланием выбора», а саму аксиому «аксиомой делания».

О.16. Сочетание из сущности по данному количеству — наборная совокупность, имеющая данное количество целей, каждая из которых является целью сущности. ППМ: сочетание.

ППМ23 «сочетание m элементов по n элементов». Приведу здесь рисунок с описанием этого понятия из [ЭнцСЯ]: «сочетание из m элементов по n — подмножество мощности n некоторого исходного конечного множества мощности m. Число сочетаний из m элементов по n, обозначаемое

». Непонятно, зачем давали описание этому понятию, если его можно выразить без использования понятия «сочетание», дав такое ему такое описание: «n-элементное подмножество m-элементного множества» или «n-элементное подмножество множества, содержащего m элементов». Также является лишним термин «число сочетаний из m элементов по n». Неудачным является запись биномиального коэффициента в виде двухстрочной матрицы, которой он не является. В данном определении используется императивный принцип программирования: предполагается, что задано некоторое исходное конечное множество мощности m.

О.17. Петля сущности — ход сущности, условие которого совпадает с целью. ППМ: цикл подстановки единичной длины, петля орграфа, тождественное отображение.

ППМ24 «петля графа». Петля графа — не однозначно определено, является ли это упорядоченной парой или неупорядоченной парой или произвольным объектом, если описывать понятие граф как в [Дис04]. Петля графа не определена для «бесконечных графов».

О.18. Опыт — не имеющий петель ход или набор, полученный объединением опыта с ходом, условием которого является конец объединяемого опыта, а целью не является состояние объединяемого опыта. Будем говорить, что опыт от первой сущности до второй сущности, если первая сущность является началом опыта, а вторая его концом. ППМ: простой путь в орграфе, реализация процесса, эксперимент, кортеж, очередь, перестановка.

ППМ25 «маршрут в графе». В [Дис04] В.Н.Сачковым дано определение маршрута в соответствующей статье, а также в статье «Графов перечисление» дано определение цепи — как маршрута в неориентированном графе, пути — как маршрута в ориентированном графе. Такое многообразие слов для обозначения одного понятия нарушает ОЗЛ достаточности основания, а само понятие маршрута сложнее НОП «опыт».

Обозначение 7. опыт(x₁,x₂,…x_n) — означает опыт {(x₁,x₂),…(x_n-1,x_n)}. Данное обозначения используются для опытов, имеющих произвольное количество ходов.

О.19. Связь — ход, условием которого является ход. ППМ: триплет, взвешенный граф как триплет и как объединение связей, элемент матрицы, таблица как объединение связей, бинарная операция как объединение связей, точка в трехмерном пространстве, бинарная операция как объединение связей.

О.20. Устройство — объединение связей, каждой целью которых является ход. ППМ: переходно-выходная функция конечного автомата, ходы машины Тьюринга (МТ) — ходы между состояниями МТ с заданными правилами перехода, ход от хода МТ к команде МТ, принцип фон Неймана.

О.21. Решение для сущности — опыт, начало которого совпадает с условием хода сущности, а конец совпадает с целью данного хода. ППМ: вывод формулы, временная сложность проблемы, решение уравнения, решение алгоритмической задачи, алгоритм решения задачи.

ППМ26 «сложность массовой проблемы». Покажем, что в [Иго16] неправильно определена сложность массовой проблемы, показав на примере задачи Коммивояжер, что она может быть решена за полиномиальное время по такому определению, что противоречит недоказанности ее полиномиальности. Будут рассмотрены цитаты, а затем будет рассмотрено НОП. На страницах 181, 182: «При этом, с каждой единичной задачей связывается некоторое натуральное число r, называемое размером этой задачи и характеризующее количество и величину данных, задействованных в этой задаче…. Пусть единичная задача [Z,r] размера r является единичной задачей массовой проблемы П, то есть [Z,r]∈П. При этом в массовой проблеме П может оказаться бесконечное множество единичных задач одного и того же размера r, а также имеются задачи сколь угодно большого размера r», на странице 183: «Вычислительной сложностью работы алгоритма А при реше­нии единичной задачи [Z, r] ЕП называется число шагов (тактов работы) алгоритма, сделанных для решения этой задачи, до полу­чения ответа. Обозначение: vs_A([Z,r])….Как мы уже говорили, с более абстрактной точки зрения мас­совая проблема есть проблема вычисления (частичной) функции φ⁽ⁿ⁾(x_l,…,x_n) от n аргументов, заданной и принимающей значения в множестве натуральных чисел…. Все вычис­лимые функции эффективно занумерованы (см. параграф 5.1), т. е. выстроены в последовательность φ₀⁽ⁿ⁾,φ₁⁽ⁿ⁾, …. так, что по номеру (натуральному числу) к функция может быть однозначно восстановлена. Этот же номер (или индекс) является также номером алгоритма А_e, вычисляющего функцию.». Сложность массовой проблемы описывается цитатой на рисунке 6.

Проблема Коммивояжер со страницы 182 по нахождению кратчайшего пути между r городами, расстояния между которыми задаются натуральными числами от 0 до 9, имеет размер p(r) ячеек ленты машины Тьюринга (МТ) и на выход должна выдать последовательность кратчайшего пути, занимающую не более p(r) ячеек ленты, где p — некоторый многочлен.

Состояниями ленты будем считать кортежами a₁,…,a_m, где a₁ первый не пустой знак ленты, а a_{m —} последний не пустой знак ленты. При этом состояние обозреваемой ячейки описывается упорядоченной парой (q,v), где q — внутренне состояние, а v — номер ячейки, которую обозревает МТ. В начале считается, что v=1.

Для каждой единичной задачи [Z,r] размерности r можно определить упорядоченную пару ((a₁,…,a_m),(b₁,…,b_s)) такие, что состояния ленты a₁,…,a_m, описывает взвешенный граф, а (b₁,…,b_s) — состояние ленты, описывающей кратчайшего пути для этого графа. Задача состоит в том, чтобы начальное состояние ленты a₁,…,a_m перевести в состояние ленты (b₁,…,b_s). Существуют команды, выполняя которые МТ вначале будет считывать входную ленту a₁,…,a_m слева направо, перезаписывая ее пустыми символами, и оказываться со внутренним состоянием (a₁), затем с (a₁,a₂) и так далее до внутреннего состояния (a₁,…,a_m). Затем МТ продолжит двигаться вправо, оказываясь во внутренних состояниях (a₁,…,a_m,,1), (a₁,…,a_m,,2), … (a₁,…,a_m,,s), выдавая на ленту значения b₁,…,b_s , а состояние (a₁,…,a_m,,s+1). Каждый такой ход МТ однозначно определяет одну команду. Рассмотрим МТ, имеющую все команды для каждой задачи [Z,r] размерности r. Такая МТ решает задачу Коммивояжер за время не более 2∙p(r), следовательно Т_П(r)≤2∙p(r), и задача Коммивояжер относится к классу P — решаемых за полиномиальное время задач. Поскольку проблема Коммивояжер NP-полная, то получается, что доказано равенство классов задач P=NP, за что полагается премия [PvsNP]. На самом дела это показывает ошибочность описания понятия ППМ «сложность массовой проблемы», вызванную тем, что при оценке сложности задачи нельзя минимизировать количество ходов в ее решении по всем алгоритмам для данной размерности.

Пример 5. Состояния описанной в ППМ26 машины Тьюринга можно считать ходом, целью которого является слово (НОП65) во внешнем алфавите, а условием является ход от внутреннего состояния МТ к номеру обозреваемой ячейки. Тогда описанное в ППМ26 применение (НОП23) машины Тьюринга к одному из условий задачи является объединением ходов между ее состояниями, причем такое применение являться опытом и устройством, целью начала которого является слово (a₁,…,a_m), а целью конца слово (b₁,…,b_s). Рассмотрим ход от начала такого опыта к концу — он является ходом частной задачи. Описанная машина Тьюринга решает эту частную задачу, а указанный опыт является ее решением. Описанная машина Тьюринга является устройством.

Задачу Коммивояжер опишем как объединение следующих ходов:

1. у которых цель условия является записью графа, а цель цели является записью его кратчайшего пути, и далее,

2. у которых условие условия является ходом к единице (НОП39),

3. у которых условие цели является ходом к количеству ходов в слове, являющемся целью данной цели,

4. каждый ход которых является выражением (НОП27).

О.22. Способ — сущность, каждый вид которой является выбором. Способ сущности — способ такой, что сущность является его частью. ППМ: алгоритм, метод, последовательность, надмножество, квантовый алгоритм, не детерминированный алгоритм, вероятностный алгоритм, частично рекурсивная функция.

ППМ27 «алгоритм». Не имеет формального определения. Неформальное определение дано в [ЭнцАГ]: «Алгоритм, алгорифм, — точное предписание, к-рое задает вычислительный процесс (называемый в этом случае алгоритмическим), начинающийся с произвольного исходного данного (из некоторой совокупности возможных для данного Алгоритма исходных данных) и направленный на получение полностью определяемого этим исходным данным результата. ». При этом даны несколько алгоритмических моделей, не имеющих обобщения. При этом нет четкого отделения программы от понимаемой под ней вычислительного отображения, эти понятия отождествляются.

О.23. Применение первой сущности ко второй сущности — объединение всех опытов из первой сущности, началами которых является вторая сущность. ППМ: применимость алгоритма, вычислимость функций.

О.24. Дело — сущность, каждый вид которой является ходом. Дельная сущность — сущность, являющаяся делом. ППМ: функция, график функции, детерминированный алгоритм, отображение, преобразование, сюръекция.

ППМ28 «функция». Функция или функциональное отношение f:A→B рассматривается как тройка объектов (A,B,{(a,f(a)), a∈A}): множеств A,B и графика функции. Это подтверждает то, что выделяют сюръективные и не сюръективные функции в зависимости того, совпадает ли f(A) с B. При этом в ряде случаев функция отождествляется с графиком функции.

О.25. Выполнение сущности — дело в сущности такое, что каждое условие сущности является условием этого дела. ППМ: элемент декартового произведения множеств, задание функции как отображающей из одного множества в другое, аксиома выбора.

О.26. Свобода сущности — объединение всех не дельных видов сущности. ППМ: свободная переменная, свободная группа, случайная величина.

Связанные с выражением понятия

О.27. Выражение — набор, каждым состоянием которого является выражение. Выраженная сущность — сущность, являющаяся выражением. ППМ: формула, универсум фон Неймана, ансамбль в определении алгоритма А.Н.Колмогоровым, JSON, правильная скобочная последовательность.

ППМ29 «формула алгебры высказываний». Часто не отмечают то, могут ли высказывания являться формулами алгебры высказываний ненулевого ранга и вообще не говорят о том, элементами какого множества высказывания являются. Не определено, что такое вообще формула или ее запись.

О.28. Понятие — вид, условием которого является выражение. ППМ: определение, переменная, произвольная величина, тип.

ППМ30 «Переменная». Не определено понятие в [ЭнцОС]. Данное понятие имеет различное значение в программировании и математике, что может приводить к путанице.

О.29. Представление — объединение понятий. ППМ: семантика в теории моделей, контекст в программировании.

О.30. Обозначение для представления — выражение, вид представления с которого является ходом. ППМ: терм, предикат, таблица истинности для формулы алгебры высказываний, предикат, полнота языка по Тьюрингу.

О.31. Примером в первой сущности для второй сущности — цель хода первой сущности, условием которого является вторая сущность. ППМ: аппликация в лямбда-исчислении, реакция ^[11], элементарное событие классической вероятностной схемы, значение переменной.

Обозначение 8. F(x) — пример в сущности F для сущности x.

ППМ31 «множество f(C)». Часто для функции f:A→B  используют обозначение f(C) для множества C⊂A, но это доопределение функции может противоречить изначальному определению функции в том случае, когда множество A уже содержит в себе в качестве элементов свои подмножества. Например, если A={{},{{}}} и f({})=1, f({{}})=2, то при С={{}} значение F(C) становится неопределенным: или 2, или {1}. Было бы понятней и правильней, если бы для функции на множестве подмножеств множества A имели бы свое обозначение.

О.32. Значение в первой сущности для второй сущности — пример в первой сущности для второй сущности, если такой пример единственный. ППМ: значение функции, значение слова, смысл выражения.

О.33. Образ в первой сущности для второй сущности — выраженный пример в первой сущности для второй сущности. ППМ: образ функции.

О.34. Предписание для сущности — выраженное условие сущности, каждым примером в сущности для которого является способ. ППМ: алгоритм, программа RAM-машины, программа на языке программирования, формула, терм, предикат, система команд для машины Тьюринга, терм для частично рекурсивных функций, схема нормального алгоритма Маркова.

ППМ32 «алгоритм». Алгоритм часто отождествляют со способом, который под ним понимается. Квантовые и вероятностные алгоритмы алгоритмами не являются, что противоречит языковым нормам.

О.35. Выполнение сущностью выражения для понятия — пример из сущности для хода от выражения к условию понятия, если всеми условиями примера являются цели понятия. ППМ: лямбда-абстракция, вычисление, функция f(x), терм, функция в программировании.

О.36. Нуль — ход из ничто в ничто. ППМ: единица как ординальное число из определения чисел Фреге — Рассела.

ППМ33 «ординальное число {}». Когда ноль отождествляют с ординальным числом {}, то у пустого множества получается новое название «ноль». То есть для одного объекта два названия, что приводит к избыточности.

О.37. Определение сущности — дело, целью которого является эта сущность. Определение сущностей — дело, целями которого являются сущности. Удовлетворяющее определению сущности — условие определения, примером из определения для которого является сущность. ППМ: форма формулы.

О.38. Понимание — сущность, целями которой являются только выражения. ППМ: нахождение нормальной формы чего-либо.

О.39. Единица — объединение нуля с ходом от нуля к ничто. ППМ: единица как натуральное число Фреге — Рассела, единица как ее определил Никола Бурбаки.

О.40. Истина в сущности — условие сущности, значением в сущности от которого является единица. Ложь в сущности — условие сущности, значением в представлении от которого является нуль. ППМ: истинность высказываний, таблица значений булевой функции, истинность высказываний в алгебре высказываний, закрытый тип вопроса.

О.41. Свойство сущности — сущность, условием которой является данная сущность. ППМ: содержащее данный элемент множество,деление целых чисел на заданное число, формула включения-исключения, член класса в программировании, свойство как тип утверждений.

О.42. Признак сущности — дельное представление, каждой целью которого является единица или нуль, и примером в признаке сущности является единица. ППМ: называемое признаком утверждение, предикат с одной переменной.

Связанные со случайностью ��онятия

О.43. Вращение — набор, являющийся петлей или объединением опыта с ходом от его конца к его началу. ППМ: цикл как граф, цикл как орграф, цикл в орграфе, цикл в подстановке, цикл в программе, подстановка-цикл.

ППМ34 «цикл». Перечисленные выше циклы имеют разное определение, что нарушает ОЗЛ «тождества».

О.44. Случай — сущность без вращений, являющаяся объединением опытов с единым началом. ППМ: ациклический орграф, последовательность, процесс, дерево с помеченной вершиной, бесконечное дерево, блуждание, цепь Маркова, случайный процесс, случайный элемент, случайный путь, случайная величина, язык.

Пример 6. Случай доказательства формулы A→A из ничего в исчислении высказываний представлен на рисунке, где А1, А2 означают номера аксиом исчисления высказываний, а ПЗ — правило заключения.

О.45. Испытание сущности — опыт из сущности, начало которого совпадает с началом сущности, а конец которого совпадает с концом сущности. ППМ: элементарное событие, юнит-тест.

О.46. Ходовое событие — ход, условием которого является случай, а целью испытание этого случая. ППМ: одноэлементное событие.

О.47. Вероятность ходового события — единица, поделенная на произведение количеств ходов в видах условия ходового события, условиями которых являются условия цели ходового события. ППМ: вероятность элементарного события, доска Гальтона.

О.48. Событие — вид, каждым условием которого является случай, а целями являются испытания этого случая. ППМ: случайное событие, случайный элемент, пара из события и его условия.

ППМ35 «событие». Событиями называют элементарные события из пространства элементарных событий и события из вероятностного пространства, что путает и может приводить к противоречию. Рассмотрим пример Ω={{},{{}}}={ω₁,ω₂} , P(ω₁)=P({})=1/3, P(ω₂)=P({{}})=2/3. Тогда P({ω₁})=1/3=P({{}})=2/3 — противоречие. Заметим, что НОП48 «событие» является частным случаем события колмогоровского вероятностного пространства, вероятность которого чуть ниже будет определена.

О.49. Случайное событие — событие, являющееся случаем. Заметим, что ничто или петля от опыта к нему же являются событиями, но не являются случайными событиями.

О.50. Исход — событие такое, что его целями являются всевозможные испытания условия события с единым концом. ППМ: принятие случайной величиной заданного значения, элементарное событие.

О.51. Достоверное событие — событие такое, что его целями являются все испытания его условия. ППМ: пространство элементарных событий.

ППМ36 «пространство элементарных событий». Зачем-то называют пространством множество, хотя на нем не введены дополнительные операции. Вообще рассмотрение не дискретных пространств элементарных событий создает излишние сложности, вполне можно обходиться дискретными вероятностными пространствами, ведь в действительном мире не бывает стрелки или луча осциллографа, показывающих значение непрерывной случайной величины, поскольку не существует способа считать континуум положений. Положения стрелки или свечение луча осциллографа ограничивает то, что шкала стрелки или люминофор состоит из атомов, излучающих фотоны, которые могут быть считаны дискретной сетчаткой глаза. При этом функцию распределения дискретной «случайной величины» можно приближать непрерывными функциями, используя при этом весь математический аппарат непрерывных случайных величин.

О.52. Вероятность наборного события — итог сложения вероятностей всех ходов (являющихся ходовыми событиями). ППМ: классическое описание вероятностей.

О.53. Осуществление сущности при случае — событие, условием которого является этот случай, а целями все испытания случая, содержащие испытания сущности или кончающиеся началом сущности. Осуществление случая — осуществление случая при нем же. ППМ: наступление (реализация) события, элемент статистической модели, прообраз отрезка у случайной величины, условие для случайного события.

О.54. Действие — способ, являющийся случаем такой, что вероятность сущности осуществления действия, цели которой состоят не более чем из n ходов, стремится к единице при n стремящемся к бесконечности. ППМ: дискретная случайная величина.

О.55. Вероятность события, являющегося сущностью осуществления действия — предел при n стремящемся к бесконечности наибольшей вероятности сущности события, цели которой состоят не более чем из n ходов. ППМ: вероятность цилиндрического множества, теоремы Шеннона.

О.56. Способность первой сущности во второй сущности — объединение всех ходов первой сущности, являющихся ходами второй сущности. ППМ: пересечение множеств, специфическое для данного игрока разбиение вершин дерева игры, функция ι определения участника по вершине дерева игры или по информационному множеству в развернутой форме игры.

О.57. Вероятность первого события при втором событии, если у них одинаковые условия и вероятность второго события ненулевая — вероятность способности первого события во втором, поделенная на вероятность второго события. ППМ: условная вероятность.

Обозначение 9. P(A|B)=P(A∩B)/P(B) — вероятность события A при событии B.

О.58. Прошлое сущности в случае — объединение всех опытов в случае, началами которых является начало случая, а концом начало сущности. Будущее сущности в случае — объединение всех опытов в случае, началами которых являются концы сущности. ППМ: условия для случайных событий.

О.59. Причина сущности в случае — часть прошлого сущности в случае такая, что вероятность события осуществления сущности при случае меньше вероятности этого же события при осуществлении части при случае. Достаточность причины сущности в случае — отношение большей вероятности к меньшей. ППМ: положительная корреляция.

О.60. Следствие сущности — объединение ходов, условиями которых являются цели сущности. ППМ: статистика, случайная величина, случайный элемент.

ППМ37 «случайная величина».

Рассмотрим случайную величину X, задаваемую тождествами X(0)=0, X(1)=1, и распределение которой определяется вероятностным пространством, задаваемом тождествами Ω={0,1}, P(0)=P(1)=1/2. Данная случайная величина имеет бернуллиевское распределение. С точки зрения языка тождественную функцию X назвать случайной или величиной очень странно. а ведь это простейшая случайная величина. В случае рассмотрения нескольких вероятностных мер у одной случайной величины будет несколько распределений, поэтому говорить о распределении случайной величины тоже некорректно: нужно говорить о распределении относительно вероятностного пространства.

ППМ38 «случайная функция»

По определению случайная функция не является случайным элементом, поэтому случайная перестановка не является случайным элементом, несмотря на то, что перестановка является функцией. Случайное событие также не является случайным элементом. Случайная величина является функцией, но не является случайной функцией.

О.61. Верность сущности при событии — объединение всех ходов события таких, что цель каждого из них в объединении с сущностью содержит вращение. Если верность сущности при событии не ничтожна, то такая сущность называется предположением о таком событии. Неверность сущности при событии — объединение всех ходов события таких, что цель каждого из них в объединении с сущностью не содержит вращение. ППМ: мощность критерия, вероятность ошибки ^[12] первого или второго рода, коэффициент доверия доверительного интервала, статистическая гипотеза.

Пример 7.

Из рисунка видно, что вероятность верности Предположения при осуществлении случая 0 равняется 2/3. Событиями являются: эта верность и включающее ее и еще один ход осуществление случая 0. Вероятность верности Предположения при осуществлении случая 1 равняется ½.

ППМ39 «статистический критерий»

Данное определение не математическое и может быть неоднозначно воспринято.

ППМ40 «критическая функций»

Критическая функция возвращает вероятность. Но в случае сложной гипотезы такая вероятность может быть определена неоднозначно. Название «критическая» означает «важная» или функция критерия — выбора гипотезы, а по факту возвращает совсем другое.

ППМ41 «функция мощности критерия»

Казалось бы, чем значение функции мощности критерия β(θ) больше, тем критерий лучше. Но на самом деле β(θ) нужно максимизировать при θ∈Θ₁ и минимизировать при θ∈Θ₀. При этом с точки зрения языка значимость критерия нужно повышать, а на самом деле нужно понижать. Вместо такого путающего названия нужно просто сказать, что функция β(θ) — вероятность принять гипотезу H₁.

ППМ42 «вероятность ошибки первого/второго/k-го рода». В вероятностном пространстве определены вероятности событий, а событие «ошибка первого рода» не определяется. Часто происходит рассинхронизация номеров ошибок с номерами гипотез, которые часто нумеруют с нулевой. Считаю, что ошибки не нужно нумеровать, а нужно говорить о вероятности принять k-ю гипотезу при верности m-ой или о принятии(отклонении) k-й гипотезы при верности m-й. «Ошибка» — это оценочное суждение о человеке.

Связанные с числом понятия

О.62. Кол — ход, условием для которого является ничто или кол, а целью ничто. ППМ: натуральное число как ординальное из определения Фреге — Рассела.

ППМ43 «натуральное число». В названии содержится слово число, которое не определено. Требует двух слов, тогда как в предложенном словаре обозначается одним словом.

О.63. Уровень — наборное объединение колов. Отрицательный уровень — не содержащий нуль уровень. ППМ: целое число, двоичная запись целого числа, знаковое целое число, bigint.

Обозначение 10. 0 — нуль. Кол из нуля в ничто записывается как отрицательное число -1. Кол из -2ⁿ в ничто записывается как -2ⁿ⁺¹ при целых n не меньше 0. Отрицательный уровень записывается как результат сложения записей колов, являющихся ходами уровня. Если 0 является ходом уровня, то он записывается как взятая без знака минус запись уровня, полученного удалением хода 0 из данного уровня. Например, (-2)⋃0=2.

О.64. Количество — неотрицательный и ненулевой уровень. Заметим, что количество не является ходом или колом. ППМ: натуральный ряд, кардинальное число.

ППМ 44. Натуральный ряд. Согласно определению А.А. Бухитаба и В.И.Нечаева из [ЭнцКО] натуральный ряд — множество, на котором определена функция следования. То есть натуральный ряд не является рядом как отображения из множества целых чисел. Понятие «множество, на котором определена операция» — характерная черта определения алгебр с использованием императивного стиля: факт принадлежности к понятию определяется не свойством самого объекта, а действиям по определению другого объекта (операции), не меняющем сам этот объект. Более того, если на множестве

Обозначение 11.

— дело, условиями которого являются неотрицательные уровни, а любым примером этого дела для его условия является увеличенное на единицу условие. Тогда запись x← означает, что x является количеством. ППМ:

, множество натуральных чисел, функция следования из определения Пеано из определения этого множества.

О.65. Слово — дельный набор, являющийся объединением ходов с условиями, являющимися уровнями от 1 до n. При этом n должно быть количеством или 0 и называется длиной слова. Заметим, что слова не являются количествами, и количества не являются словами. ППМ: кортеж (ППМ6), слово, массив, пропозиционная переменная, упорядоченный набор.

Обозначение 12. (a₁ ,…, a_n) — тождественное к

слово, то есть слово, примером i в котором является a_i для всех i от 1 до n. При этом a_n называется последней буквой данного слова.

О.66. Упорядоченное по сущности слово — слово такое, что для любых двух его разных ходов, если условие первого больше условия второго, то ходом сущности не является ход от цели первого хода к цели второго хода. ППМ: сортированный массив, неупорядоченный набор, инверсия в перестановке.

Пример 8. Определим не содержащее петель представление R, целями которого являются выражения. Идущий от x к y ход является ходом R только тогда, когда выполнено одно из условий

либо если количество ходов в x меньше количества ходов в y,

либо если x и y являются ходами с совпадающими условиями, и ходом представления R является ход от цели x к цели y,

либо если x и y являются ходами с не совпадающими условиями, и ходом представления R является ход от условия x к условию y,

либо если количества ходов в x и в y совпадают, и если u,v — в упорядоченные по представления R слова, целями которых являются все ходы x и y соответственно, а a и b — отличающиеся только последней буквой словесные сущности слов u и v соответственно, то ход от последней буквы слова u к последней букве слова v находится в отношении R.

Транзитивное сокращение данного линейного отношения строгого порядка образует диаграмму Хассе и является функцией следования, которая может быть использована для определения в аксиоматике Пеано натуральных чисел. Каждое не ничтожное выражение является целью такого транзитивного сокращения.

О.67. Запись для понимания — выраженное слово, примерами которого в понимании являются выражения. ППМ: формула, терм, слово, файл.

О.68. Описание для представления — выражение, примерами которого в представлении являются являются понятия. ППМ: определение, диаграмма, картинка, текст.

О.69. Язык — представление, каждым условием которого является слово. ППМ: язык программирования, язык как объединение слов в математике, исчисление.

ППМ45 «язык» не отражает то, что каждое слово имеет свое значение. В математике это бездушное множество.

О.70. Словарь — язык, каждой целью которого является слово. ППМ: библиотека языка программирования, описание класса в программировании.

О.71. Юникод — слово, целями являются количества, равные юникодам различных букв. Буква юникод — количество такое, что существует равная ему кодировка юникод. Буква отождествляется с символом юникод. ППМ: знак, цифра, символ, буква слова, тип char.

О.72. Наборная доля — нуль или объединенное с нулем слово, целями которого являются только количества, но последней буквой которого не является единица. Доля, являющаяся объединением слова (a₁,…,a_n) с нулем может быть представлено рациональной дробью, цепной дробью которой является [0,a₁,…,a_n+1,a_n+1]. Заметим, что уровень или наборная доля являются выражениями. ППМ: дробная часть конечной цепной дроби.

О.73. (Бесконечная) последовательность — дело, условиями которого являются всевозможные количества. ППМ: последовательность в математике.

О.74. Доля — наборная доля или объединенная с нулем последовательность, целями которой являются только количества. ППМ: не меньше нуля и меньшая единицы цепная дробь, мантисса.

О.75. Отрицательная бесконечность — ход, целью которого является ничто, а условием он же. Положительная бесконечность — объединение отрицательной бесконечности с нулем. ППМ: минус бесконечность, парадокс ^[13] Рассела, аксиома регулярности, слово this в программировании, фрактал.

О.76. Величина — объединение уровня с долей. Величина отрицательна, если не содержит нуля. Величина положительна, если она не нуль и содержит нуль. Заметим, что величина, уровень, положительная и отрицательная бесконечности не являются словами. Положительные величины не являются ходами. ППМ: действительное число, цепная дробь.

Обозначение 13. R_≤ — объединение всевозможных ходов от одной величины к не меньшей величине. Тогда запись x←R_≤ означает, что x является величиной. ППМ: x∈R, множество действительных чисел, отношение порядка.

Обозначение 14. R={({(a,b)},a+b), a,b — произвольные величины} — похожее на операцию сложения устройство. Тогда записи x←R_≤ и x←R означают одно и то же, и верно тождество R({(a,b)})=a+b. ППМ: бинарная операция, моноид.

О.77. Число — дело, каждой целью которого является величина. ППМ: комплексное число, вещественное число, натуральное число, вектор, вещественн��значная функция от числа, длина предмета в метрах, вектор-строка.

Пример 9. Опишем дельную последовательность, целями которой являются все возможные выражения. Каждое выражение x представим в виде однострочной записи z(x) из фигурных скобок и запятых, где вместо каждой записи вида (a,b) записано {a,{a,b}} и если выражение представлено в виде {(p₁,p₂),(p₃,p₄),…,(p_2n-1,p_2n)}, то записанное как {(p_2i-1,p_2i)} выражение находится в последовательности левее записанного как {(p_2j-1,p_2j)} выражения при i<j. Это же верно для каждого подвыражения записи z(x). Для z(x) опишем слово m(x), полученное из записи z(x) заменой каждой открывающей скобки на единицу, закрывающей на ноль. Если это слово рассматривать как число в двоичной системе счисления с младшими разрядами справа, то обозначим это число как t(x). В последовательности запишем x с меньшим t(x) левее выражений с большим t(x), не пропуская ни одной буквы. Таким образом получена искомая последовательность.

О.78. Замер при случае — являющееся числом следствие случая. ППМ: статистическая оценка, случайный элемент, граница доверительного интервала.

О.79. Измерение — действие, концами которого являются величины или ходы от величины или от минус бесконечности к величине или к плюс бесконечности. Заметим, что ход от величины к величине не является величиной, поскольку величина может являться ходом только если является не положительным уровнем, но тогда она имеет целью ничто, а не величину. ППМ: случайная величина, квантовое измерение, доверительный интервал, статистическая оценка, выбор статистических гипотез, случайное комплексное число.

Пример 10. Пусть F — определенная для положительной бесконечности и для отрицательной бесконечности значениями 1 и 0 соответственно функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины. Определим случайный способ следующим образом:

1) состояниями способа являются ходы от величины или минус бесконечности до величины или плюс бесконечности;

2) началом способа является ход от отрицательной бесконечности к положительной бесконечности;

3) в каждом виде способа с условием от a к b целями являются только: ход от a к c и ход от c к b, где

Тогда любое действие в данном случае является измерением.

Связанные с поведением в игре понятия

О.80. Видимость сущности — дело, условиями которого являются все состояния сущности. ППМ: гомоморфизм графов, гомоморфизм алгебр, раскраска графа, область видимости переменной в программировании, информационное разбиение.

О.81. Сведение о данном ходе при видимости — ход, условием которого является пример видимости для условия данного хода, а целью — пример видимости для цели данного хода. То есть сведением о ходе {(x,y)} при видимости f называется ход {(f(x),f(y))}. ППМ: гомоморфизм.

О.82. Сведение о первой сущности при второй сущности — сущность, всеми ходами которой являются все сведения о ходах первой сущности при всевозможных делах из второй сущности. При этом будем говорить, что первая сущность сводится с помощью второй сущности к данному сведению. ППМ: гомоморфный граф, гомоморфная алгебра, система команд машины Тьюринга.

Обозначение 15. сведение(X,F) — сведение о сущности X при сущности F. По определению сведение(X,F)={(f(x),f(y)) для всех ходов {(x,y)}⊂X и дел f⊂F}. 

О.83. Завершение сущности — объединение всех ходов сущности, целями которых являются концы сущности. ППМ: выигрыш игрока, статистика.

О.84. Игра — случай, цели которого являются делами, причем совокупности условий у концов случая одинаковы. Розыгрыш игры — объединение всех ходов игры, не являющихся ходами ее завершения. ППМ: динамическая игра, позиционная игра, игра в развернутой форме.

О.85. Участник игры — сущность, способность которой в игре не ничтожна. Часто следует рассматривать игру как способ, поскольку к игре относятся рассуждения о дискретности мира из ППМ36. ППМ: игрок, коалиция действия в игре, информационное множество игрока, конечный автомат как участник розыгрыша.

О.86. Дележ в игре — конец игры. Игрок — условие дележа. Заметим, что не ничтожное завершение игры является ее участником, но не игроком. ППМ: коалиция интересов в игре, кортеж из нормальной формы отношения реляционной модели данных.

ППМ 46 «развернутая форма игры». Развернутая форма игры определяется по-разному в различных источниках: [ТИ15], википедия. При этом вводится множество обозначений в каждом источнике по-своему. Что такое стратегия точно не определено. Далее дадим определение поведению участника, что соответствует стратегии игрока.

О.87. Поведением участника в игре по видимости — сущность в способности участника в игре такая, что сводящийся к данному ходу вид которой при помощи видимости, имеет такое же количество ходов, как и любой другой вид сущности, сводящийся к этому же ходу, причем такой вид содержит все сводящиеся с помощью видимости к данному ходу ходы способности участника с данным условием. Определим это в обозначениях. Пусть С – это способность игрока. То есть сущность П⊂С является поведением игрока согласно видимости f, если для каждого хода {(u,v)}⊂сведение(П,f) и каждых двух условий x1←←П, x2←←П таких, что f(x1)=f(x2), выполнено:

1) количество целей y←П, для которых {(x1,y)}⊂П и {(f(x1),f(y))}={(u,v)}, совпадает с количеством целей y←П, для которых {(x1,y)}⊂П и {(f(x1),f(y))}={(u,v)}, 

2) если ход {(x1,y)}⊂С и f(y)=v, то {(x1,y)}⊂П. 

ППМ: стратегия игрока, информационное разбиение, игра в нормальной форме.

Пример 11. Рассмотрим похожую на орлянку игру, которую будем называть Жеребьевкой. Начинается игра с действия Алисы, состоящего в бросании монеты, которая может упасть орлом или решкой вверх. Затем Боб говорит говорит одно из слов “орел” или “решка”. Розыгрыш переходит в одно из четырех конечных состояний ОР, ОО, РР, РО, буквам каждого которых соответствует верхняя сторону выпавшей у Алисы монеты и названная Бобом сторона. В завершении игры при условии ОО Боб отдает Алисе одно яблоко, при условии ОР и РР Алиса отдает Бобу яблоко, при условии РО Боб отдает два яблока Алисе и одно выбрасывает. На рисунке представлена эта игра, а ее ходы подписаны: ход {(Н,О)} будем называть ходом 1, ход {(О,ОР)} будем называть ходом 4, ход 7 идет от ОО к состоянию {(Алиса,1),(Боб,-1)}, записанному для краткости в виде 1,-1 и означающему количество полученных Алисой и отданных Бобом яблок. Подобным образом изображены и заданы прочие ходы и состояния Жеребьевки.

Объединение ходов 3, 5 является поведением Боба согласно видимости Б. Осуществлением такого поведения при Жеребьевке является событие, условием которого является Жеребьевка, а целями являются опыт из ходов 1,3,7 и опыт из ходов 2,5,9. Назовем такое событие Событием 35. Сводкой События 35 является средний выигрыш Алисы 1,5 яблока, а средний проигрыш Боба 2 яблока. Способностью Боба будет объединение ходов 3,4,5 и 6, а сведением о ней будет способность Алисы, состоящая из ходов 1 и 2.

О.88. Мышление — объединение ходов, являющихся выражениями. Мысль — ход мышления. ППМ: дискретный объект, идея в мире идей Платона ^[14], логика ^[15].

О.89. Ум по видимости для игры — участник игры, способность которого в игре сводится по видимости к мышлению. ППМ: игровой искусственный интеллект, метод.

О.90. Желание — сущность без вращений такая, что если {(a,b)} и {(b,c)} ходы желания, то и {(a,c)} ход желания. ППМ: транзитивное отношение, отношение порядка.

О.91. Смысл действия — желание, содержащее хотя бы один ход от начала испытания этого действия до его конца. ППМ: транзитивное замыкание.

Литература

[Лог03] Гусев, Д.А. Краткий курс логики: Искусство правильного мышления. — М.: Ид-во НЦ ЭНАС, 2003.

[Чкод19] Мартин, Р. Чистый код: создание, анализ и рефакторинг. — СПб. : Питер, 2019. – 646 с.: ил.

[Форма] Радченко А.Л., Примеры сущностей, 2023, https://goo.su/dF5r ^[1]

[ЭнцДК] Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д — Коо.—М.: «Советская Энциклопедия», 1979.—1104 стб., ил.

[Вер99] Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1999.—910 с.

[ТИ15] Захаров, А. В. Теория игр в общественных науках [Текст] : учебник для вузов / А. В. Захаров ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — М. : Изд. дом Высшей школы экономики, 2015. — (Учебники Высшей школы экономики). — 304 с.

[Симулякр98] Делёз Ж. Платон и симулякр // Интенциональность и текстуальность. Философская мысль Франции XX века. — Томск: Водолей, 1998. — С. 225—240.

[ЭнцСЯ] Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5. Слу — Я — М., «Советская Энциклопедия», 1984.—1248 стб., ил.

[Куд12] Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. Том 1 : учебник для бакалавров / Л. Д. Кудрявцев. — 6-е изд. — М. : Издательство Юрайт, 2012. — 703 с.

[ЭнцКО] Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т. 3 Коо—Од — М.: «Советская Энциклопедия», 1982.—1184 стб., ил.

[БинО] Бинарное отношение // ru.wikipedia.org ^[16] [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Бинарное_отношение ^[17] (дата обращения 11.01.2024)

[Pair] Ordered pair // en.wikipedia.org ^[18] [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_pair ^[19] (дата обращения 11.01.2024)

[Кур70] Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970. — С. 67. — 416 с.

[UOPair] Unordered pair // en.wikipedia.org ^[18] [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://en.wikipedia.org/wiki/Unordered_pair ^[20] (дата обращения 11.01.2024)

[Сепульки] Звездные дневники Ийона Тихого (сборник) / С. Г. Лем — «Издательство АСТ», 1954-1991 — (Ийон Тихий)

[ЭнцАГ] Математическая энциклопедия / Ред. коллегия: И. М. Виноградов(глав, ред.) и др, Т. 1 — М., «Советская Энциклопедия», т. 1. А—Г. 1977.- 1152 стб. ил.

[ЭнцОС] Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов.— М.: Советская Энциклопедия, т. 4 Ок —Сло. 1984. 1216 стб., ил.

[Кортеж] Кортеж (информатика). Определение в теории множеств // ru.wikipedia.org ^[16] [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Кортеж_(информатика)#Определения_в_теории_множеств ^[21] (дата обращения 11.01.2024)

[Set99] Karel Hrbacek, Thomas Jech. Introduction to Set Theory. — Third edition, revised and expanded. — 1999. — ISBN 0-8247-7915-0.

[ГЕН03] Глухов М. М., Елизаров В. IL, Нечаев А. А. Алгебра Учебник В 2-х т. Т I — М.: Гелиос АРВ, 2003 — 336 с, ил.

[Дис04] Дискретная математика: Энциклопедия / Гл. ред. В.Я. Козлов. — М.: Большая Российская энциклопедия, 2004.— 382 с.

[Усп87] Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения.— М.: Наука ^[22]. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1987.—(Б-чка программиста).—288 с.

[Иго16] Игошин В.И. Теория алгоритмов: Учеб. пособие. — М .: И Н Ф РА -М , 2016. — 318 с.

[Хар73] Харари Ф. Теория графов /М.: Мир.- 1973.- 300 с

[Оре80] Оре О. Теория графов / М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980, 336 стр.

[PvsNP] P vs NP // Институт Клэя [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://www.claymath.org/millennium/p-vs-np/ ^[23] (дата обращения 14.01.2024)