Я не верю в чёрные полосы. Поэтому посчитал серии в ста бросках монеты

В последнее время у меня сорвалось несколько договорённостей по проектам. Вмешивались форс-мажоры и другие внешние обстоятельства. У каждой истории свои причины, но когда переживаешь их одну за другой, в голове они быстро превращаются в одну: «Мне опять не повезло».

Я никогда особо не верил в чёрные и белые полосы. Позже обычно удаётся разобрать происходящее по отдельности и вернуться к рациональному объяснению. Однако внутри такой последовательности иногда возникает ощущение, что сегодня лучше вообще ничего не предпринимать. Не потому, что очередная попытка объективно плохая. Просто предыдущие закончились неприятно.

Меня и зацепило это противоречие. Я не верю, что одна неудача притягивает следующую, но временами начинаю ожидать именно этого. В попытке разобраться я добрался до философии удачи, исследования полумиллиона ставок и небольшого расчёта на Python. Оказалось, что за сто бросков честной монеты серия из шести одинаковых результатов встречается с вероятностью около 80,7%.

Для начала пришлось вернуться к собственной детской идее. Тогда для измерения удачи мне требовались казино, два человека и машина времени.

Казино и машина времени

В детстве я представлял удачливость как невидимый параметр человека. У одного он выше, у другого ниже. Если такой параметр существует, его можно обнаружить экспериментально: первый человек играет в рулетку, мы записываем результат, возвращаемся в прошлое и предлагаем второму сделать такую же ставку. Казино то же, момент тот же. Меняется только участник.

Повторяем ^[1] это тысячи раз и сравниваем результаты. Если один выигрывает чаще, значит, он удачливее. Тогда идея казалась мне почти безупречной. Оставалась небольшая техническая проблема с путешествиями во времени.

Сейчас я вижу, что машина времени сама по себе не обеспечит корректного эксперимента. Если она возвращает рулетку в абсолютно то же состояние и мы считаем её движение детерминированным, результат повторится: тысяча повторов одного эпизода не равна тысяче независимых игр. Если же замена человека меняет условия, сначала придётся выяснить, чем вызвана разница в результатах.

Но я застрял на более простом вопросе: почему вообще решил искать удачу именно в человеке? Выигрыш в рулетку ещё не говорит о его шансах найти работу, встретить нужного знакомого или успешно запустить проект. Возможно, я слишком рано объединил разные события одним словом.

У философа Дункана Притчарда нашёлся подход, близкий к моей машине времени. В его модальной теории удачи важно, насколько легко произошедшее могло не произойти в близких альтернативных обстоятельствах. Возможные миры здесь служат инструментом рассуждения, а не утверждением о доступных нам параллельных вселенных [1].

Человек опоздал на поезд, который затем попал в аварию. Мы называем это удачей, потому что легко представляем другую историю: он вышел чуть раньше, успел и пострадал. Оценка относится к конкретному исходу и его альтернативам. Чтобы обсуждать её, необязательно приписывать человеку постоянный коэффициент везения.

Удача с координатами

«Оказаться в нужном месте в нужное время» теперь кажется мне более содержательной формулировкой, чем «быть удачливым человеком».

Два разработчика могут обладать похожими навыками и работать над сопоставимыми проектами. Один на мероприятии знакомится с человеком, который впоследствии помогает ему найти первых заказчиков. Другой остаётся дома. Спустя несколько лет по результатам уже трудно догадаться, насколько похожими были их исходные возможности.

При этом первый сам решил пойти на мероприятие. Возможно, до этого он посетил десяток бесполезных встреч. Он влиял на условия знакомства, но не выбирал заранее человека, разговор и последствия. Здесь усилия и случайность ^[2] вполне уживаются в одной истории.

Вместо постоянного коэффициента удачи я бы теперь начал с такой записи:

P(благоприятный исход | человек, время, место, обстоятельства)

Эта условная вероятность заставляет уточнить задачу: выбрать конкретный результат, описать известные условия и определить, с чем его сравнивать. Без этого запись останется обозначением нашего незнания.

В работе Getting Luck Properly Under Control Рэйчел Маккиннон предлагает оценивать удачу через разницу между фактическим исходом и ожидаемым значением результата [2]. Так можно обсуждать не только полученный успех, но и то, насколько он превосходил ожидания в данных условиях.

У меня, например, нет надёжной модели вероятности успеха конкретной договорённости. Поэтому из её срыва нельзя вычислить, насколько мне «объективно не повезло». Зато очень легко сделать другой вывод: снова не получилось, значит, началась полоса. И дальше смотреть на события через неё.

Откуда берутся 80,7%

Прежде чем объяснять полосу невезением, стоит проверить, насколько необычна сама серия. Для этого удобно взять ситуацию, где вероятности известны: сто независимых бросков честной монеты.

После пяти орлов вероятность следующего орла по-прежнему равна 50%. Но это вероятность одного следующего броска. Я же хочу узнать вероятность хотя бы где-нибудь среди ста бросков встретить шесть или больше одинаковых результатов подряд. Подойдут и орлы, и решки.

Для шести заранее выбранных бросков вероятность, что все они одинаковые, равна 2 / 2**6, то есть 3,125%. В сотне бросков у серии гораздо больше возможностей появиться. При этом соседние группы из шести бросков перекрываются, поэтому считать их независимыми попытками нельзя.

Вместо случайной симуляции можно точно посчитать все последовательности, в которых нужная серия ещё не появилась:

from fractions import Fraction
n = 100
for k in range(4, 11):    # Число последовательностей без серии ≥ k, у которых текущая    # серия имеет длину 1, 2, ..., k−1.    counts = [2] + [0] * (k - 2)    for _ in range(1, n):        counts = [sum(counts)] + counts[:-1]    p = 1 - Fraction(sum(counts), 2**n)    print(f"{k:2d}: {float(p):.3%}")

После первого броска есть две последовательности: орёл и решка. Обе заканчиваются серией длиной один. При следующем броске смена стороны начинает новую серию длиной один, а повторение увеличивает текущую длину. Варианты, достигшие k, мы больше не учитываем.

Поэтому sum(counts) собирает все варианты со сменой стороны, а counts[:-1] переносит остальные в следующую категорию длины. Последняя категория отбрасывается: повторение в ней уже создало бы запрещённую серию.

После сотого броска остаётся число последовательностей без серии длиной k или больше. Всего равновероятных последовательностей 2**100. Делим одно на другое и вычитаем из единицы. До вывода на экран расчёт идёт в целых числах и точных дробях.

Это вероятности хотя бы одной серии указанной длины или длиннее, а не ровно такой длины. Даже семь одинаковых результатов подряд в сотне бросков вероятнее встретить, чем не встретить.

С жизненными событиями такой расчёт напрямую не проделаешь. У них разные вероятности и разный вес, а границы «полосы» мы часто выбираем уже после случившегося. К тому же склонность замечать подтверждения существующим ожиданиям может влиять на то, какие события мы включим в историю о невезении [3].

Есть и другая возможность: события действительно связаны. Если из-за сорванной договорённости приходится менять планы по проекту, следующая проблема может быть следствием первой. Тогда перед нами причинная цепочка, а не несколько независимых бросков монеты.

Игроки, которые меняли собственные шансы

В 2014 году Сюй и Харви проанализировали 565 915 спортивных ставок, сделанных 776 игроками за 2010 год. После выигрышей участники чаще выигрывали снова, после проигрышей чаще продолжали проигрывать. При этом менялся выбор ставок: после побед игроки выбирали более вероятные исходы, после поражений переходили к менее вероятным [4].

Ставка на более вероятный исход выигрывает чаще. Поэтому такой выбор помогает продолжаться победной серии. И наоборот: выбор менее вероятных исходов увеличивает вероятность следующего проигрыша. Здесь речь о частоте выигрышей, а не о доходности игры.

Авторы связывают поведение ^[3] участников с ошибкой ^[4] игрока: ожиданием, что случайность должна компенсировать предыдущие результаты. После победы человек опасается поражения и выбирает более вероятный исход; после проигрыша ждёт разворота удачи и выбирает менее вероятный. Попытка подготовиться к окончанию полосы может поддерживать её продолжение. Убеждения игроков напрямую не измерялись: это объяснение наблюдаемого выбора ставок, предложенное авторами [4].

Здесь я вспомнил своё «сегодня лучше ничего не предпринимать». Направление реакции ^[5] другое: проигрывавшие участники выбирали менее вероятные исходы, а мне хочется отказаться от новых попыток. Меня заинтересовал общий механизм: произошедшее меняет следующее решение, и условия для нового результата уже отличаются от прежних.

Если после сорвавшейся договорённости я перестану предлагать сотрудничество, возможностей получить согласие станет меньше. Для этого достаточно моего решения больше не пробовать.

Изнутри такая история может выглядеть убедительно: мне не везёт, поэтому я действую меньше; хороших результатов не появляется, значит, я правильно заметил полосу. В этот момент я уже не просто наблюдаю происходящее, а участвую в его продолжении.

Иногда пауза нужна: я устал, предложение требует доработки или сама попытка не стоит затрат. Тогда у остановки есть конкретная причина. Но мысль «несколько раз не получилось, значит, сейчас вообще бесполезно» ничего подобного не объясняет.

Я не могу уверенно сказать, что уже продлевал таким способом собственные неудачи. Зато теперь понимаю, за чем хочу следить: не превращается ли одна сорвавшаяся возможность в причину отказаться от всех следующих.

Одна песня, несколько историй успеха

Обратную сторону этой идеи показывает эксперимент Мэтью Салганика, Питера Доддса и Дункана Уоттса. В 2006 году они создали искусственный музыкальный рынок с 14 341 участником. Люди слушали и скачивали неизвестные им песни. Одни выбирали независимо, другие видели предыдущий выбор слушателей [5].

В нескольких отдельных группах популярность одних и тех же композиций развивалась по-разному. Социальное влияние усиливало неравенство результатов и делало успех менее предсказуемым. Качество сохраняло значение: лучшие песни редко проваливались, худшие редко становились лидерами. Но оно не определяло итог полностью [5].

Песня могла получить раннее внимание ^[6], которое привлекало следующих слушателей. В другой группе первоначальное преимущество не возникало. Композиция оставалась той же, а её история менялась.

Для меня это интереснее спора «всё решает талант» против «всё решает удача». Здесь способности и качество никуда не исчезают. Просто результата недостаточно, чтобы восстановить всю историю его возникновения.

С проектами я бы тоже хотел помнить об этом. По одному отказу нельзя уверенно судить о качестве всей работы. Но и успех не позволит мне автоматически приписать себе каждое обстоятельство, которое к нему привело.

Оценка, которую меняет продолжение

Даже когда результат известен, с определением удачи остаются сложности. В исследовании Стивена Хейлса и Дженнифер Джонсон участникам показывали ситуации в разных формулировках. Один из примеров касался лотереи: героиня угадала пять из шести чисел или не угадала одно из шести. Положительная подача одних и тех же событий приводила к более высоким оценкам удачливости [6].

Авторы предлагают радикальную интерпретацию: возможно, удача вообще служит способом рассказывать истории об успехе и провале. Сами результаты показывают зависимость оценок от подачи; вопрос о природе удачи этим ещё не закрывается [6].

Меня больше занимает то, что рассказ может меняться даже без намеренной смены формулировки. Достаточно дождаться продолжения.

Человеку отказали в работе, которую он очень хотел. Позже он нашёл другое направление и через несколько лет решил, что тот отказ оказался к лучшему. При этом он не знает, какой была бы жизнь на первой работе. У него есть одна прожитая история и представления об остальных.

С непосредственным результатом всё понятно: попытка трудоустройства закончилась неудачей. С влиянием на всю жизнь уже сложнее. Благоприятные последствия могут изменить отношение к отказу, но они не доказывают, что другой путь был бы хуже.

Я пока не могу сказать, что сорвавшиеся договорённости оказались для меня благом. Они меня расстроили. Придумывать им полезные последствия только ради красивого вывода было бы той же попыткой найти удобную историю.

Однако и записывать их в доказательства моей общей неудачливости нет оснований. Для этого пришлось бы сначала определить, что именно я измеряю, с чем сравниваю и где заканчиваю наблюдение.

Между неудачей и следующим решением

В детстве мне хотелось найти человека, которому объективно везёт больше остальных. Теперь интереснее разобраться в конкретной ситуации: какие были возможности, что зависело от решений участников и что изменилось после результата.

Это оставляет место и случайности, и усилиям, и неравным исходным условиям. Но я больше не вижу необходимости объяснять их единым параметром, который человек носит с собой.

Из всей этой истории для себя я вынес довольно приземлённую вещь. Сорванная договорённость уже случилась. Следующее решение ещё не принято. Между ними есть связь, но мне стоит понимать, какая именно: изменились ресурсы, условия проекта, моя оценка предложения или просто настроение.

Я всё ещё могу ощущать чёрную полосу. Только теперь хочу замечать момент, когда это ощущение начинает решать за меня, стоит ли пробовать дальше.

А машину времени я бы всё равно не отверг. Сравнить несколько вариантов собственной жизни было бы интереснее, чем тысячи раз запускать рулетку. Правда, выбрать из них самый удачный оказалось бы отдельной задачей.

Отдельно хочется разобрать обратный вопрос: если случайность способна выглядеть закономерностью, почему мы доверяем повторяемости научных результатов? Это уже тема для другого текста, с рабочим названием «А что, если нам просто невероятно везёт с законами физики?».

А у вас было событие, которое вы сначала считали неудачей, а теперь не стали бы отменять, даже получив машину времени?

---

Источники

[1] Duncan Pritchard. The Modal Account of Luck ^[7]. Metaphilosophy, 2014, 45(4–5), 594–619.

[2] Rachel McKinnon. Getting Luck Properly Under Control ^[8]. Metaphilosophy, 2013, 44(4), 496–511.

[3] Raymond S. Nickerson. Confirmation Bias: A Ubiquitous Phenomenon in Many Guises ^[9]. Review of General Psychology, 1998, 2(2), 175–220.

[4] Juemin Xu, Nigel Harvey. Carry on winning: The gamblers’ fallacy creates hot hand effects in online gambling ^[10]. Cognition, 2014, 131(2), 173–180.

[5] Matthew J. Salganik, Peter Sheridan Dodds, Duncan J. Watts. Experimental Study of Inequality and Unpredictability in an Artificial Cultural Market ^[11]. Science, 2006, 311(5762), 854–856.

[6] Steven D. Hales, Jennifer Adrienne Johnson. Luck Attributions and Cognitive Bias ^[12]. Metaphilosophy, 2014, 45(4–5), 509–528.