Математики из OpenAI показали, что решения уравнений Навье — Стокса, описывающих течение жидкостей, в некоторых случаях могут «взрываться». Однако этот потрясающий результат уже вызвал споры
Утром во вторник, 8 сентября, математики из OpenAI объявили, что группа из 10 000 автономных ИИ‑агентов под их руководством, работавших на продвинутой модели, недоступной широкой публике, обнаружила «сингулярность» в трёхмерных уравнениях Навье — Стокса. Тем самым была решена одна из шести остававшихся нерешёнными задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя. За решение каждой из них назначена премия в $1 млн. Результат был формально проверен на языке программирования Lean, что даёт математикам основания считать его правильным.
Если результат выдержит дальнейшую проверку, то с большим отрывом станет самым важным математическим доказательством, полученным на сегодняшний день с помощью модели искусственного интеллекта. Возможно, он знаменует фундаментальный перелом в том, как математики будут подходить к сложным задачам.
Эта конкретная сложная задача касается дифференциальных уравнений, которые выражают взаимосвязи между изменяющимися величинами. Пожалуй, это важнейший математический инструмент для объяснения окружающего мира. Как правило, такие уравнения легко записать, но трудно решить.
Уравнения Навье — Стокса представляют собой дифференциальные уравнения, которые на основе второго закона Ньютона описывают поведение жидкостей и газов, от океанических течений до воздушных потоков. Впервые их записали в середине XIX века, и с тех пор они играют центральную роль в механике жидкости. Однако один фундаментальный вопрос об этих уравнениях оставался без ответа: всегда ли их решения ведут себя «хорошо»? Или со временем решение может эволюционировать таким образом, что какая‑то бесконечно малая часть жидкости начнёт двигаться с бесконечно большой скоростью, создавая так называемую сингулярность?
OpenAI объявила об обнаружении этой давно разыскиваемой сингулярности через 12 часов после заявления Тристана Бакмастера из Нью‑Йоркского университета. Он вместе с Левентом Алпёге из Anthropic решил несколько тесно связанных задач с помощью различных моделей ИИ, в том числе моделей OpenAI.
Обе команды, использовавшие ИИ, в значительной степени опирались на работы Диего Кордобы из Института математических наук в Мадриде и Луиса Мартинеса‑Сороа из Университета CUNEF. Эти исследователи разработали стратегию решения задачи, радикально отличавшуюся от методов, которыми пользовалось большинство математиков.
«Я был в восторге от того, что задача решена», — сказал Чарльз Фефферман из Принстонского университета, автор официального описания задачи Навье — Стокса для Института Клэя. По его словам, настоящие герои этой истории — Кордоба и Мартинес‑Сороа. Как написал Бакмастер в заявлении о своих результатах: «Скажу прямо то, что уже говорил коллегам в частном порядке: учитывая весь этот корпус работ, я считаю, что Луис Мартинес‑Сороа заслуживает медали Филдса».
Одна особенная сингулярность
Уравнения Навье — Стокса основаны на предположении, что жидкость можно рассматривать во всё более мелком масштабе, переходя к сколь угодно малым её объёмам. В реальном мире всё устроено иначе: жидкости в конечном счёте состоят из молекул и атомов. Они не являются идеально непрерывными. Поэтому математические результаты о возникновении сингулярностей не имеют непосредственных практических последствий. Однако они важны, поскольку сама возможность таких сингулярностей даже в идеализированной модели оказывается неожиданной. Это показывает, что, каким бы простым ни казался второй закон Ньютона, его последствия применительно к жидкостям могут быть глубоко контринтуитивными. Иными словами, турбулентность — штука ещё более странная, чем кажется на первый взгляд.
Уравнения Навье — Стокса учитывают вязкость, то есть внутреннее трение в жидкости. Жидкости с большей вязкостью, например мёд, текут медленно, а с меньшей, например вода, быстрее. Более простая родственная система, уравнения Эйлера, описывает жидкости с нулевой вязкостью, текущие без трения. Эти две системы тесно связаны, и исследователи часто работают с ними параллельно. Однако добавление даже бесконечно малого трения радикально меняет поведение жидкости.
«Десять лет назад никто не верил, что в уравнениях Навье — Стокса существует сингулярность», — сказал Кордоба, хотя многие считали, что уравнения Эйлера сингулярности допускают. Ситуация начала меняться в 2013 году, когда Томас Хоу из Калифорнийского технологического института и Го Ло, ныне работающий в Университете Хан Сенга в Гонконге, получили революционный результат. Они показали, что решения уравнений Эйлера могут, как говорят математики, «взорваться» [blow up] в цилиндре, если его верхнюю и нижнюю половины заставить вращаться в противоположных направлениях. «Это было первое действительно серьёзное заявление о существовании сингулярности», — вспоминает Кордоба. В последующие годы серия результатов, включая статью 2019 года, заставила математиков задуматься о том, что сингулярности могут существовать не только для уравнений Эйлера, но и для Навье — Стокса.
От этого результата до нынешнего открытия оставалось сделать несколько концептуальных шагов. Первый связан с вопросом о границе. В версии задачи тысячелетия рассматривается трёхмерное пространство, бесконечно простирающееся во всех направлениях. Более ранние результаты, например работа 2013 года с цилиндром, предполагают наличие некоторой границы. Такие результаты полезны как промежуточные этапы, но, по словам Феффермана, случай без границы математически особенно интересен. В моделях с границей обнаружение сингулярности «говорит вам, что жидкость может образовать сингулярность благодаря взаимодействию с границей, а без границы всю эту безумную штуку проделывает сама жидкость».
Следующий важный шаг связан с моделированием сил, заставляющих жидкость двигаться. Это могут быть естественные силы, например гравитация, тянущая жидкость вниз, или искусственное воздействие, например работа пропеллера. Математики моделируют такие силы с помощью так называемой внешней силы (forcing). Иногда исследователи вводили неудобные, громоздкие функции внешней силы, чтобы заставить жидкость вести себя необычным образом. Но в версии задачи тысячелетия требуется выяснить, что может происходить, когда эта функция математически хорошо себя ведёт, то есть является «гладкой».
В своей работе 2013 года с цилиндром Хоу и Ло использовали компьютерные модели для имитации сценария, который мог привести к взрыву решения уравнений Эйлера. Затем они доказали, что взрыв действительно происходит, вычислительно учтя все возможные ошибки. С тех пор похожие методы стали основным направлением атак на задачи Эйлера и Навье — Стокса.
Однако в докторской диссертации 2021 года Мартинес‑Сороа разработал аналитические методы, вообще не зависящие от компьютеров. Это сделало его и его научного руководителя Кордобу своего рода белыми воронами в этой области. К 2023 году они доказали, что одна из версий уравнений Эйлера с довольно неуклюжей функцией внешней силы действительно демонстрирует сингулярности.
Кордоба любит шутить: «Я не использую ИИ: у меня есть Луис». Мартинес‑Сороа добавляет, что дело не в том, что кто‑то из них выступает против ИИ, просто «до сравнительно недавнего времени, когда я пытался использовать его в собственной работе, он плохо вписывался в мой рабочий процесс. Очевидно, теперь придётся приспосабливаться».
В общих чертах их метод основан на создании бесконечной последовательности «слоёв», каждый из которых представляет собой несингулярное решение исследуемого уравнения. Похожие методы они применяли к уравнениям Эйлера и Навье — Стокса, а также к другим родственным системам. Затем эти решения объединяются в то, что Мартинес‑Сороа называет «бесконечным каскадом», образуя новое решение.
Как показали исследователи, это новое решение содержит требуемую сингулярность. Однако, хотя каждый отдельный слой использует гладкую функцию внешней силы, при объединении слоёв эта функция может приобрести нежелательные математические свойства. Поэтому их решение не удовлетворяло критериям задачи тысячелетия. Оставалось выяснить, как создать аналогичный бесконечный каскад, который давал бы не только сингулярность, но и гладкую функцию внешней силы.
Именно этот шаг, по всей видимости, удалось сделать обеим конкурирующим группам, использовавшим ИИ.
Одно захватывающее сочетание
Пока Кордоба и Мартинес‑Сороа разрабатывали свои методы, математические исследования с использованием ИИ переживали настоящий бум. С начала лета большие языковые модели, главным образом OpenAI и Anthropic, использовались для получения доказательств результатов в самых разных областях математики. Нередко такие результаты сопровождались формальными доказательствами на языке Lean, позволяющими с абсолютной логической строгостью установить истинность утверждения. При этом остаётся один важнейший этап проверки, который должны выполнить люди: убедиться, что утверждение, доказанное в Lean, логически эквивалентно тому, что математики изначально собирались доказать.
Большую часть лета эта конкуренция выглядела если не дружеской, то по крайней мере не откровенно враждебной. За последние сутки ситуация изменилась.
Незадолго до полуночи в понедельник, 7 сентября, Бакмастер опубликовал заявление о результатах своей совместной работы с Алпёге. «Большую часть прошлого года прогресс шёл медленно», — написал он. Однако к 22 августа у них уже имелось проверенное в Lean доказательство для уравнений Эйлера. «Могу сказать, что первое сгенерированное LLM доказательство, которое прислал мне Левент, было самым чудовищным из всех, что я когда‑либо читал», — написал Бакмастер.
Они собирались продолжить работу над более элегантным изложением, однако после того, как информация об их успехах просочилась в OpenAI, решили ускорить публикацию. Бакмастер посетовал, что одну из трех публикуемых ими статей «можно описать только как нейрослоп. Прошу прощения».
OpenAI признаёт, что занялась уравнениями Навье — Стокса под влиянием слухов о том, что Алпёге и Бакмастер решили одну из задач тысячелетия. На самом деле это было не совсем так, хотя они утверждают, что располагают пока не проверенным доказательством взрыва решения для несколько более простой версии задачи Навье — Стокса. Используя новую внутреннюю модель, OpenAI задействовала группы автономных ИИ‑агентов различного размера для решения вариантов задач Эйлера и Навье — Стокса. «Почти 100 агентов совместно работали примерно 50 часов, чтобы получить наше опровержение регулярности решений уравнений Эйлера», — говорится в пресс‑релизе компании.
Затем OpenAI развернула ещё более крупную группу, около 10 000 агентов, для атаки на задачу Навье — Стокса. Через 88 часов агенты, работавшие на внутренней модели, получили доказательство существования сингулярности, а ещё через 17 часов другая модель ИИ формализовала результат. В общей сложности агенты обменялись почти 5 млн сообщений. Себастьен Бюбек из OpenAI оценивает вычислительные затраты в несколько миллионов долларов.
На момент подготовки материала подробности взаимодействия между Бакмастером, Алпёге и OpenAI остаются неясными: разные участники событий излагают разные версии. OpenAI признаёт приоритет Бакмастера и Алпёге в получении результата для трёхмерных уравнений Эйлера, но заявляет о собственном приоритете в случае Навье — Стокса. В своем заявлении Бакмастер, по‑видимому, предполагает, что исследователи OpenAI или их ИИ‑агенты могли получить доступ к работе, которую он и Алпёге выполняли с использованием моделей OpenAI, и воспользоваться ею.
[Подробности этого спора описаны в другой статье на нашем сайте / прим.перев.]
Потребуется время, чтобы восстановить точную хронологию событий и разобраться, кто, что и когда сделал, а также оценить математическое значение новых ИИ‑доказательств, даже несмотря на то, что они уже прошли формальную проверку. Однако интеллектуальный долг перед Кордобой и Мартинесом‑Сороа в любом случае представляется очевидным.
«Я очень рад за Тристана, — сказал Мартинес‑Сороа. — Конечно, было бы здорово сделать это самим, но я очень рад за него».
Автор: SLY_G
