Благодаря сочетанию искусственного интеллекта и алгоритмов удалось обнаружить неизвестную ранее структуру, прослеживающуюся в уравнениях для вычисления числа пи на протяжении 2000 лет
На протяжении более двух тысячелетий математики создавали всё новые и новые уравнения для вычисления числа пи, находясь в постоянном поиске методов для всё более быстрого вычисления этого числа. На сегодня их уже тысячи, а алгоритмы могут генерировать бесконечное количество новых. Раньше каждое новое уравнение стояло особняком и не имело очевидной связи с другими. Но вот впервые было показано, что формулы числа пи, накопленные веками, являются частью единой, ранее скрытой структуры.
Разделите окружность любого круга на его диаметр, и вы получите число пи. Но как именно оно записывается? Измерение физических кругов не даст вам ответа — ваши инструменты слишком громоздки, чтобы раскрыть все подробности бесконечной последовательности цифр числа пи. Чтобы раскрыть его истинное значение, требуется нечто гораздо более мощное: формула.
Всё началось с Архимеда, который разработал первый в мире математический метод вычисления значения числа пи. Он рассматривал круг как многоугольник с бесконечным количеством сторон, имеющих нулевую длину. Математический аппарат для работы с бесконечно малыми величинами (математический анализ) появится только через 1900 лет, поэтому вместо этого он нарисовал 96‑угольники снаружи и внутри круга и использовал геометрию для вычисления их периметров. Ему удалось определить, что число пи находится где‑то между 3,140845… и 3,142857…, ограничив диапазон его значений. Его приближение продержалось около 1600 лет.
Затем, примерно в XIV веке, индийский математик Мадхава из Сангамаграмы предложил первую точную формулу, выраженную в виде бесконечного ряда — суммы бесконечного множества слагаемых, которая, если бы их удалось каким‑то образом сложить, дала бы точное значение числа пи. Но была одна загвоздка: его ряд сходился мучительно медленно, и требовались сотни слагаемых, чтобы определить всего несколько знаков после запятой. Более чем через триста лет Леонард Эйлер открыл другой ряд, который сходился быстрее. А в начале 1900‑х годов математик Шриниваса Рамануджан создал формулы, которые и сегодня по‑прежнему ценятся за их эффективность.
Казалось, что все эти уравнения никак не связаны между собой. Но в конце 2025 года команда из семи исследователей в области искусственного интеллекта из Техниона — Израильского технологического института — обнаружила ранее неизвестную математическую структуру, лежащую в основе сотен формул числа пи, включая формулы Архимеда, Эйлера и Рамануджана. «Не каждый день доводится цитировать Архимеда», — говорит аспирант Майкл Шалит, член команды. Эта структура, называемая консервативным матричным полем (CMF), выступает в качестве своего рода математического общего предка, показывая, как формулы, которые внешне не похожи друг на друга, оказываются разными выражениями одного и того же базового объекта.
Этот проект вырос из разработанной в 2019 году руководителем группы Идо Каминером программы «Машина Рамануджана» — ИИ‑бота, который ищет новые гипотезы для вычисления математических констант. Любой желающий может бесплатно скачать это программное обеспечение, и многие использовали его, чтобы найти новые формулы для вычисления числа пи, которые пополнили существующий список. Нестандартный подход бота стал хитом, хотя математики и не восприняли его всерьёз. «Когда мы начали заниматься исследованиями в области искусственного интеллекта в этой сфере математики, — говорит Каминер, — это воспринималось как маргинальная идея».
Но по мере того, как машина и другие математики продолжали генерировать формулы, в конце концов возник вопрос, от которого было невозможно уйти: были ли они между собой связаны?
Группа, члены которой также имеют опыт работы в таких областях, как физика и математика, подошла к решению этой задачи как экспериментаторы и решила собрать набор данных. Томер Раз, тогда ещё магистрант Техниона, написал код для скачивания всех математических статей, когда‑либо загруженных на сервер препринтов arXiv.org, оставив свой ноутбук работать семь дней в неделю, 24 часа в сутки, на протяжении шести недель, чтобы скачать 455 050 статей со скоростью, достаточно низкой, чтобы не превысить ограничения сайта.
Затем группа использовала GPT‑4o в сочетании со специализированными алгоритмами для обнаружения уравнений, связанных с числом пи, преобразования их в исполняемый код и удаления тривиальных дубликатов. Из почти полумиллиона статей они извлекли 385 уникальных формул, причём порядка 10 процентов из них были получены с помощью «Машины Рамануджана».
На следующем этапе они перевели 385 уравнений в один и тот же формат — особый вид бесконечных рядов. Однако все выражения по‑прежнему сходились к π, и не было очевидного способа их сравнить. Требовалось что‑то более глубокое.
Этим «чем‑то» оказался CMF, который некоторые члены группы Каминера представили в 2023 году. Шалит называет его «швейцарским армейским ножом» для математики. «Он может объединить формулы, которым 2000 лет, [и] установить иерархию констант в математике, и мы надеемся [использовать его, чтобы] доказать некоторые свойства иррациональности, связанные с гипотезой Римана», — говорит он.
Представьте себе CMF как гравитацию, определённую на сетке. Каждая формула пи прослеживает свой путь по сетке. Так же, как гравитационное поле гарантирует, что разница энергий между двумя точками одинакова, независимо от маршрута, CMF гарантирует, что имеет значение только конечная точка. Из этого единственного ограничения вытекает нечто замечательное: когда две формулы пи прокладывают параллельные пути через одну и ту же сетку CMF, они эквивалентны (одна может быть преобразована в другую), какими бы несопоставимыми они ни казались на первый взгляд.
Группа вывела базовую формулу числа пи (CMF), а затем с помощью алгоритмов определила, где каждая формула вписывается в эту сетку, выявив кластеры схожих уравнений. С помощью алгоритма было формально доказано, принадлежит ли кластер уравнений к CMF. Результат: 43 процента всех известных формул числа пи происходят от одной базовой формулы. Ещё 51 процент принадлежит более широким кластерам. (Исследователи всё ещё выясняют их точные взаимосвязи.) Только 6 процентов формул остаются «сиротами», не имея доказанной связи ни с чем другим.
Остаётся открытым вопрос, сможет ли более сложный CMF охватить весь набор формул, говорит Каминер. Ещё один открытый вопрос заключается в том, является ли каждое уравнение, сгенерированное из CMF, формулой для вычисления числа пи — пока что все уравнения, которые команда пробовала, работали.
Дэвид Бейли, ушедший на пенсию компьютерный учёный, ранее работавший в Национальной лаборатории Лоуренса Беркли, который не участвовал в исследовании (хотя одна из формул для пи носит его имя, а группа использовала один из его алгоритмов), говорит, что результаты проекта похожи на то, как если бы химики XVII века открывали атомные элементы один за другим, «а потом вдруг кто‑то запустил компьютерную программу, которая автоматически построила всю периодическую таблицу».
Математик Джордж Эндрюс, почётный профессор Пенсильванского государственного университета (известный тем, что обнаружил утраченную коллекцию записей Рамануджана), ранее критиковал группу за то, что она назвала свою машину в честь Рамануджана. Однако нынешнюю работу он оценил исключительно положительно. «Это серьёзная математика, которой занимаются серьёзно, — говорит он. — Впереди нас ждёт всё больше удивительных открытий».
Автор: SLY_G
