Механический калькулятор. Как работает арифмометр?

Я часто бываю в музеях СССР различных городов и очень люблю рассматривать артефакты ушедшей эпохи. Уже очень давно меня заинтересовал механический калькулятор, который встречается буквально в каждом музее. Но все как-то не было времени разобраться, как он работает. Ведь по уму, калькулятор должен уметь не только складывать и вычитать, но еще умножать и делить. Механическая штуковина это реально может?

Может.

Посвящу эту статью подробному разбору принципа механических калькуляторов, которые называются арифмометрами. Сначала сделаем небольшую историческую ретроспективу, а потом подробно пройдемся по устройству самого массового советского устройства для подсчетов. Оно называется “Феликс”, но принцип его работы базируется на колесе Однера. Впрочем, обо всем по-порядку.

Основа основ

Зубчатое колесо – идеальная основа для счетной машины. Повернул колесо на три зубца – прибавил тройку. Десять зубцов – полный оборот. Если колесо единиц сделало полный оборот, его палец (или специальный “палец-переносчик”) зацепляет колесо десятков и проворачивает его на один зубец. Это и есть тот самый механизм переноса единицы в следующий разряд, который лежит в основе всех механических сумматоров. Казалось бы, гениально просто. Но дьявол, как всегда, скрывался в деталях и в необходимости выполнять не только сложение, но и вычитание. А также многократные операции для умножения и деления.

1623 год. Вильгельм Шиккард создает “считающие часы”. Это было первое механическое устройство, которое могло складывать и вычитать шестизначные числа. Для умножения использовался хитрый набор осей с “навернутыми” таблицами умножения. 

Эм. Как понять “навернутыми”? Вы удивитесь, но буквально.

Представьте себе несколько цилиндриков, как маленькие скалки или баночки из-под пленки, насаженные на ось. На каждом таком цилиндрике напечатана таблица умножения для одной конкретной цифры. Например, на одном вся таблица умножения на 2, на другом – на 3, и так до 9.

Но напечатана она не столбиком в ряд, а по окружности, витками. То есть если крутить цилиндрик, в окошке будут появляться строчки: 2×1=2, 2×2=4, 2×3=6 и т.д. Получается такой механический “калькулятор” одной цифры.

Теперь представьте, что у вас таких цилиндриков – по количеству разрядов числа. Например, чтобы умножить 123 на 5, вы выставляете множитель 5 на отдельной рукоятке, и все цилиндрики одновременно поворачиваются так, чтобы в окошках показались результаты:

для сотен (1×5) = 5,

для десятков (2×5) = 10,

для единиц (3×5) = 15.

Оператор считывает эти цифры из окошек и записывает их, а потом складывает – уже либо вручную, либо на суммирующей части машины. В нашем примере надо взять 500, прибавить 100 (десять десятков) и 15 (последнее число суммы). Получаем 615. Это верный ответ!

Слово “навернутыми” здесь буквальное: таблицы умножения были навернуты на цилиндры, как нитки на катушку. Это был самый удобный способ сделать механическую “память” таблицы умножения в то время, когда ни электроники, ни сложных зубчатых передач для автоматического умножения еще не придумали.

По сути, Шиккард сделал гибрид: одна часть машины сама складывала и вычитала (шестеренки), а для умножения он приделал такой “барабанный автомат”, который быстро подсказывал промежуточные результаты, избавляя человека от мучительного перемножения в уме.

1642 год. Блез Паскаль. Французский гений создает “Паскалину”. Это реально успешное и даже серийное (выпущено несколько десятков экземпляров) устройство. Колесики Паскаля были жестко сцеплены механизмом переноса. Если вы прибавляли 1 к 99, колесо единиц, проходя через ноль, заставляло колесо десятков прокрутиться, а то, в свою очередь, доворачивало колесо сотен. Это был первый надежный автоматический перенос разрядов. Но сложение было прямым назначением машины, а умножение сводилось к многократному сложению, что было утомительно.

1673 год. Готфрид Вильгельм Лейбниц. Великий математик решил проблему “многократного сложения”. Его “Ступенчатый вычислитель” стал первым калькулятором, который мог напрямую умножать и делить. Лейбниц придумал ключевой элемент – ступенчатый валик (или цилиндр Лейбница). 

Представьте себе цилиндр, на котором зубья расположены по длине ступенчато: на одном участке 1 зуб, на другом – 2, и так до 9. Сдвигая вдоль этого валика счетное колесо, можно было выбрать, сколько зубьев войдет в зацепление: 1, 2… 9. Так, за один оборот ручки можно было прибавить не единицу, а любое число от 1 до 9. Это был колоссальный шаг вперед – теперь машина действительно умела умножать, имитируя умножение в столбик.

1878 год. Пафнутий Львович Чебышев. Он создал свой арифмометр, а позже и приставку к нему для умножения. Но главное изобретение Чебышева – непрерывный перенос десятков. До него механизмы работали “рывками”: колесо вставало на 9, и в момент перехода на 0 происходил резкий удар, который сбрасывал следующее колесо. Чебышев придумал механизм, который передавал единицу плавно, постепенно. Это новшество оказалось критически важным для будущих высокоскоростных машин с электроприводом, где резкие удары могли разрушить механизм.

Железный Феликс

Однако, наибольшую популярность получил калькулятор, который в нашей стране называли Феликсом. Про название еще поговорим, пока же разберем принцип на котором он работал. 

В 1890 году швед по происхождению, работавший в России, Вильгодт Теофил Однер доводит до серийного производства принципиально новый узел – колесо с переменным числом зубьев, или “колесо Однера”. Именно это изобретение лежит в основе самого популярного арифмометра. Что за колесо такое? Давайте разбираться.

Любая счетная машина должна уметь выполнять четыре действия:

• Сложение – прибавить введенное число к тому, что уже есть в сумматоре.

• Вычитание – вычесть.

• Умножение – многократное сложение.

• Деление – многократное вычитание.

Кроме того, нужно уметь сдвигать разряды (как при умножении столбиком) и обнулять счетчики. В арифмометре Однера все эти функции реализованы с помощью простых механических узлов, но главный из них – колесо с переменным числом зубьев.

Представьте себе обычную шестерню, но зубья у нее не жесткие, а выдвижные. Внутри колеса расположены 9 тонких металлических спиц, которые могут либо торчать наружу, либо быть утопленными внутрь. Каждая спица соответствует цифре от 1 до 9. Управляются они сложным кулачковым механизмом, который связан с внешним рычажком (или клавишей) ввода цифры.

Когда вы устанавливаете на рычаге цифру, например, 5, внутри колеса происходит следующее:

• Кулачок поворачивается так, что выталкивает наружу ровно пять спиц.

• Остальные четыре остаются внутри.

• В результате колесо приобретает ”зубчатый сектор” из пяти выступающих спиц. Если теперь повернуть колесо на полный оборот, эти пять спиц войдут в зацепление с ответной шестерней (счетным колесом) и проворачивают ее на 5 зубьев. Если бы мы установили цифру 0, ни одна спица не выдвинулась бы, и колесо вращалось бы вхолостую, не передавая движения.

• Таким образом, за один оборот рукоятки колесо Однера добавляет к счетчику ровно столько единиц, какая цифра выставлена. В этом и заключается гениальность Однера: компактный, надежный и дешевый в производстве способ задать любое число от 0 до 9 одним колесом, а не громоздким ступенчатым валиком, как у Лейбница.

В типичном арифмометре Однера (например, “Феликс”) есть три основных узла:

• Клавиатура (или рычаги) ввода – ряд рычажков (обычно 8–10), каждый отвечает за свой разряд числа. На каждом рычажке нанесены цифры от 0 до 9. Под каждым рычажком находится свое колесо Однера. Когда вы выставляете рычаг в положение “5”, колесо Однера в этом разряде выдвигает пять спиц.

• Счетчик результатов (сумматор) – это ряд цифровых барабанчиков (или колесиков с цифрами), показывающих текущую сумму. Каждый барабанчик – это счетная шестерня с зубьями. Она связана с колесами Однера через систему шестерен и механизм переноса.

• Счетчик оборотов (регистр множителя) – еще один ряд цифровых барабанчиков, который считает, сколько оборотов сделала рукоятка. Он нужен для умножения и деления.

• Каретка (подвижная часть) – в большинстве однеровских машин счетчик результата и счетчик оборотов размещены на каретке, которая может сдвигаться влево-вправо. Это позволяет выполнять умножение поразрядно, как в столбик.

• Рукоятка – главный привод. Один поворот рукоятки заставляет все колеса Однера сделать один полный оборот (или половину, в зависимости от режима). Направление вращения определяет: складываем или вычитаем.

Давайте пройдемся по основным математическим операциям.

Сложение

Допустим, мы хотим прибавить к нулю число 123. Выставляем на рычагах: в разряде сотен – 1, десятков – 2, единиц – 3. Затем поворачиваем рукоятку один раз по часовой стрелке (направление сложения).

Что происходит:

• Колесо Однера в разряде единиц выдвинуло 3 спицы. При вращении они проворачивают счетный барабанчик единиц на 3 деления. Барабанчик показывает 3.

• Колесо в разряде десятков выдвинуло 2 спицы. Оно проворачивает счетный барабанчик десятков на 2 деления. Барабанчик показывает 2.

• Колесо в разряде сотен выдвинуло 1 спицу – барабанчик сотен поворачивается на 1.

Все просто: сумма = 123.

Теперь прибавим еще 987. Выставляем рычаги на 987, снова вращаем рукоятку.

Единицы: 3 + 7 = 10. Барабанчик единиц должен показать 0, а десяткам добавиться 1.

Как это реализовано механически? Когда барабанчик единиц переходит с 9 на 0, он толкает специальный рычажок (механизм переноса), который проворачивает барабанчик десятков на один зуб. Это происходит автоматически в процессе вращения рукоятки. Механизм переноса у Однера был доведен до совершенства: он работает плавно, без рывков, благодаря конструкции, восходящей еще к идеям Чебышева (непрерывный перенос). В итоге на десятках получается: 2 + 8 + 1 (перенос) = 11 → единица переносится в сотни, и так далее. Конечный результат: 123 + 987 = 1110. Машина показывает его на счетчике.

Вычитание

С вычитанием у арифмометра еще интересней. Чтобы машина не складывала, а вычитала достаточно просто вращать рукоятку в обратную сторону.

Помним, что внутри арифмометра число – это положение зубчатых колес. При вращении вперед счетные колеса сдвигаются в сторону увеличения, при вращении назад – в сторону уменьшения. Для механизма это буквально движение по тому же десятичному кругу, только в обратную сторону: 7 превращается в 6, 6 – в 5, 1 – в 0, а 0 – в 9.

Допустим, на счетчике уже стоит 123, и мы хотим вычесть 45. Выставляем 45 на рычагах и начинаем вращать рукоятку назад. Тогда в разряде единиц механизм должен отступить на пять шагов, а в разряде десятков — на четыре.

И вот тут сразу появляется проблема: из 3 нужно вычесть 5. Напрямую это сделать нельзя, значит младший разряд проходит через ноль:

3 → 2 → 1 → 0 → 9 → 8

В единицах получается 8, но одновременно возникает необходимость вычесть из старшего разряда.

Не проблема! Тот же самый механизм, который при сложении автоматически делает перенос в следующий разряд, при обратном ходе работает как механизм вычитания. Как только младшее колесо переходит через ноль, соседний старший разряд автоматически уменьшается на единицу.

Поэтому в десятках происходит уже не просто 2 – 4, а 2 – 4 – 1, где эта дополнительная единица ушла на младший разряд. В результате на счетчике получается правильный ответ: 78.

Умножение

Чтобы умножить 123 на 45, мы используем свойство: 123 × 45 = 123 × (40 + 5) = 123×5 + 123×40.

На арифмометре это делается так:

• Выставляем на рычагах 123.

• Поворачиваем рукоятку 5 раз (направление сложения). Счетчик результата показывает 123×5 = 615.

• Сдвигаем каретку на один разряд влево. Теперь колеса Однера воздействуют не на единицы счетчика, а на десятки. Это значит, что один оборот рукоятки теперь прибавляет не 123, а 1230.

• Поворачиваем рукоятку 4 раза. Счетчик прибавляет 1230×4 = 4920.

Сумма: 615 + 4920 = 5535.

Счетчик оборотов при этом показывает, сколько раз мы крутили ручку (сначала 5, потом 4) и в каком разряде – это помогает контролировать процесс.

Для более сложного умножения (например, трехзначного на трехзначное) каретку сдвигают последовательно на каждый разряд.

Деление

Деление – это обратный процесс. Например, делим 5535 на 123. Ищем, сколько раз 123 помещается в 5535.

Алгоритм:

• Выставляем делитель (123) на рычагах.

• Устанавливаем каретку так, чтобы делитель “накладывался” на старшие разряды делимого (то есть чтобы 123 сравнивалось с 553).

• Начинаем вычитать: вращаем рукоятку в обратную сторону (вычитание) до тех пор, пока в старших разрядах не получится число, меньшее делителя. Счетчик оборотов при этом считает количество вычитаний – это очередная цифра частного.

• Сдвигаем каретку на один разряд вправо и повторяем процесс.

• В конце на счетчике результата остается остаток, а на счетчике оборотов – частное.

Механизм автоматически не останавливается при достижении нуля – оператор следит по цифрам и сам решает, когда прекратить вычитание. На более поздних моделях (например, “Феликс-М”) появился звонок, который предупреждал о переполнении или переходе через ноль.

Механизм переноса десятков – важнейшая деталь

Без надежного переноса машина была бы бесполезна. У Однера перенос реализован с помощью храповиков и специальных рычагов. Когда счетный барабанчик переходит с 9 на 0, он сдвигает рычажок, который в тот же момент (пока рукоятка еще вращается) подталкивает следующий барабанчик на один шаг. Причем этот перенос может быть каскадным: если после переноса следующий барабанчик тоже переваливает через ноль, механизм передает перенос дальше.

В однеровских машинах используется так называемый непрерывный перенос – улучшенная система, позволяющая передавать единицу через несколько разрядов за один оборот рукоятки. Это повышает надежность и скорость.

Когда вы беретесь за рукоятку и вращаете ее, происходит следующая последовательность:

• Рукоятка через систему шестерен приводит в движение главный вал.

• На главном валу жестко сидят все колеса Однера (по одному на каждый разряд ввода).

• Колеса Однера, вращаясь, своими выдвинутыми спицами зацепляют счетные шестерни (барабанчики результата), поворачивая их.

• Если счетная шестерня переходит через ноль, она активирует механизм переноса, который доворачивает соседнюю шестерню.

Одновременно счетчик оборотов регистрирует каждый полный оборот рукоятки, прибавляя единицу к соответствующему разряду (или вычитая, если рукоятка вращается в обратную сторону).

В конце оборота рукоятка автоматически фиксируется, и можно делать следующий.

Почему эта конструкция стала массовой

Колесо Однера оказалось технологичным: его можно было изготавливать на обычных металлорежущих станках с достаточной точностью. Оно было компактнее ступенчатого валика Лейбница, что позволяло делать настольные приборы с относительно небольшим весом. Средний “Феликс” весил 3,5 килограмма.

Надежность так же была высока – в СССР арифмометры “Феликс” работали десятилетиями, передавались из отдела в отдел. И главное – оператору не требовалось специального обучения: несколько минут объяснений – и можно считать.

А кто такой  Феликс?

Дзержинский. Простите, что не стал интриговать и выдал все в первом же слове. 

После революции 1917 года завод Однера в Петербурге был национализирован. В 1924 году, когда Дзержинский возглавлял Высший совет народного хозяйства (ВСНХ) и занимался восстановлением промышленности, он инициировал перенос производства арифмометров в Москву. Завод разместили на базе предприятия “Сущевский”, и он получил имя Дзержинского. Сам “железный Феликс” умер в 1926 году, а спустя три года, примерно в 1929-м, арифмометры, выпускавшиеся на этом заводе, стали называть “Феликс”.

Таким образом, название было не просто данью уважения, а закрепляло имя человека, при активном участии которого производство этих счетных машин было восстановлено и поставлено на поток в молодой Советской республике.

Заключение

Чуть меньше трех веков понадобилось, чтобы изобрести идеальный механический арифмометр. И еще почти век он помогал людям, погруженным в цифры, делать расчеты. Последние “Феликсы” были выпущены в 1978 году и какое-то время еще выполняли свою функцию на рабочих местах бухгалтеров и специалистов по планированию.

А вот уйти на пенсию он умудрился буквально за десять лет. И сейчас уже мало кто знает принцип работы железного калькулятора. Надеюсь, после этой статьи, таких людей прибавится. И в следующий раз, случайно или специально попав в музей СССР вы уделите арифметическому ветерану чуть больше внимания.

Размещайте облачную инфраструктуру и масштабируйте сервисы с надежным облачным провайдером Beget.

Эксклюзивно для читателей Хабра мы даем бонус 10% при первом пополнении.