ChatGPT на экзамене в ШАД 2025. математика.. математика. поступление в шад.. математика. поступление в шад. разбор экзамена.. математика. поступление в шад. разбор экзамена. шад.. математика. поступление в шад. разбор экзамена. шад. шад хелпер.. математика. поступление в шад. разбор экзамена. шад. шад хелпер. экзамен шад.

Авторы: Лыков А., к.ф.-м.н., академический руководитель Школы Высшей Математики и ШАДХелпера; Канунников А., к. ф.-м. н., преподаватель ШАДХелпер.

В статье мы разберём задачи с онлайн-экзамена в ШАД в 2025 году. Посмотрим как решал этот экзамен искусственный интеллект.

По традиции экзамены в ШАД в 2025 году начались в мае. Первый этап – онлайн-тестирование. Прошедших онлайн-тестирование приглашают на второй этап – онлайн-экзамен. Особо отличившихся на онлайн-тестировании приглашают на олимпиаду. После онлайн-экзамена ожидается серия собеседований.

Организаторы разрешили пользоваться чем угодно кроме мессенджеров. Даже использование LLM не запрещалось.

Вот сводная таблица результатов различных LLM по задачам с онлайн-экзамена:

	A	B	C	D	E	F	Сумма
Chat GPT o3	10	10	10	10	10	9	59
Gemini Pro	10	8	10	9	10	9	55
DeepSeek Thinking	10	0	10	10	10	9	49
GigaChat 2 Max	0	0	0	0	0	0	0
YandexGPT 5 Pro 4	0	0	0	0	0	0	0

10 баллов – означает, что LLM решил задачу сходу, без дополнительных промтов и изменений в условии.

Комментарии.

В задаче F Chat GPT условие задачи пришлось немного изменить, чтобы LLM решил её в общем случае для всех N, поэтому мы сняли 1 балл.
В задаче B Gemini Pro сделал ошибку в распознавании задачи. После исправления он сделал арифметическую ошибку в конце решения, хотя вывел правильную общую формулу. Поэтому мы сняли с него 2 балла.
В задаче D Gemini Pro сделал ошибку в распознавании задачи. После исправления он дал правильное решение. Поэтому сняли один балл.
В задаче F Gemini Pro допустил арифметическую ошибку в конце решения, хотя вывел правильную общую формулу. Поэтому мы сняли с него 1 балл.
В задаче F DeepSeek вывел правильную общую формулу, но сделал арифметическую ошибку на последнем шаге, подставляя числа.

Отметим, что наша система оценки решения отличается от шадовской. Например, в задаче F Gemini Pro и DeepSeek получили бы 0 шадовских баллов, так как сделали арифметическую ошибку.

Выводы.

Результаты больших языковых моделей в решении шадовских задач впечатляют. Ранее мы писали о том как ловко Chat GPT o3 решил 4 из 6 гробовых задач вступительных экзаменов (https://habr.com/ru/articles/881858/). Однако упомянутые задачи давно лежали в базе и LLM в ходе обучения могла видеть решения. Высокие стандарты ШАДа заставляют верить, что задачи настоящего экзамена оригинальные и нигде ранее не встречались (хотя это неточно). Это может означать, что современные LLM действительно способны решать новые математические задачи.

Отечественные LLM (Gigachat и Yandex GPT) отстают от зарубежных, но есть все основания расcчитывать, что разрыв c зарубежными LLM сократиться в ближайшее время.

Успех современных LLM в решении технических задач (математика, программирование, алгоритмы, брейнтизеры) ставит под вопрос будущее онлайн-форматов технических экзаменов и собеседований. Ожидаем возвращение к обычным доковидским оффлайн экзаменам. Как мы установили, студент с купленным Chat GPT o3 за 20 долларов может с успехом дойти до собеседований в ШАД. Как быть с онлайн-собеседованием? Совсем недавно вышло приложение https://www.interviewcoder.co/ для прохождения онлайн-собеседований по алгоритмам. Оно запускается в фоновом режиме во время собеседования, слушает вопросы, мониторит экран. Отправляет условия в LLM, получает решение и выдаёт на экран. Автор приложения, южный кореец, за первые два месяца работы приложения заработал 1 млн долларов. Русский язык приложение пока не поддерживает, но это дело времени. Приложение того же автора без заточки на алгоритмы https://cluely.com/ . Мы категорически против жульнических схем сдачи экзаменов и призываем честно и добросовестно проходить испытания. Однако, если эти схемы настолько просты и эффективны, то имеет смысл подумать над изменением формата проверки знаний. Иначе под угрозу попадают добросовестные абитуриенты.

Ниже мы приводим условия задач онлайн-экзамена и решения от преподавателей ШАДХелпера. Решения от Chat GPT o3 доступны по ссылке (с включенным ВПН).

Задача A. Дезинтеграция

Роберт купил для себя и своих друзей квадратную плитку шоколада со стороной 1. Он решил поделить её на прямоугольников в разрезами следующим образом: на очередном шаге он случайно выбирает один из имеющихся на данный момент кусков и проводит по нему горизонтальный или вертикальный разрез, причём направление разреза и его положение выбираются равномерно и независимо от прочих действий. Найдите математическое ожидание произведения площадей получившихся кусков.

В качестве ответа приведите натуральный логарифм искомого математического ожидания при или , если математического ожидания не существует.

Введённое вами число должно отличаться от правильного ответа не более чем на $10^{-9}$ .

Примечание

Выбор направления (по вертикали или горизонтали) проводится независимо от выбора положения (то есть расстояния от прямой разреза до параллельной ей стороны куска). В первом случае каждый вариант осуществляется с вероятностью , во втором случае расстояние распределено как , где — длина стороны, поперёк которой мы режем. Выбор куска для разреза производится равновероятно.

Решение

Рассмотрим случай . Обозначим – место первого разреза.
По условию задачи он может быть вертикальным или горизонтальным равновероятно. Поэтому искомое математическое ожидание находится по формуле

$E_1=frac{1}{2} E(xi (1-xi)) + frac{1}{2} E(xi (1-xi))=E(xi (1-xi))=frac{1}{2} - frac{1}{3}=frac{1}{6}$

Теперь предположим, что исходная плитка была не квадратом, а прямоугольником со сторонами . Тогда математическое ожидание произведения площадей после первого разреза равно

$E_1(a,b)=frac{1}{2} E(xi_a (a-xi_a) b^2 ) + frac{1}{2} E(xi_b (b-xi_b) a^2 )$

где $xi_a sim mathrm{U}[0,a]$ и $xi_b sim mathrm{U}[0,b]$ . Вычислим :

$E_1(a,b)=frac{1}{2} a ^2 b^2 E(xi (1-xi) ) + frac{1}{2} b^2 a^2 E(xi (1-xi) )=frac{a^2b^2}{6}=frac{S^2}{6},$ (1)

где мы обозначили площадь исходной плитки.

Пусть теперь . После первого разреза получилось два прямоугольника. Обозначим их площади через и . Ясно, что суть случайные величины и . Введём также обозначение для случайной величины равной произведению площадей трёх прямоугольников после второго разреза. С равной вероятностью будет выбран первый или второй прямоугольник для разреза. Поэтому имеем равенство для условного математического ожидания:

$E(P|S_1,S_2)=frac{1}{2} frac{S_1^2}{6} S_2 + frac{1}{2} S_1 frac{S_2^2}{6}=frac{1}{12}S_1S_2$

Первое слагаемое соответствует выбору первого прямоугольника для разреза, второе второму. Мы воспользовались формулой (1) для случая разреза произвольного прямоугольника. В силу свойств условного математического ожидания и разобранного случая получаем:

$E_2=EP=E(E(P|S1,S2))=frac{1}{12} E(S_1S_2)=frac{1}{12} frac{1}{6}=frac{1}{72}$

Докажем по индукции, что

$E_n=frac{1}{6^n n!}$

Проведём шаг индукции. Предположим, что формула доказана для . Проверим её для . После разреза получилось прямоугольников с площадями $S_1,ldots,S_{n}$ . Причём по предположению индукции

$E(S_1 S_2ldots S_n)=E_{n-1}=frac{1}{6^{n-1} (n-1)!}$

Далее, для разреза равновероятно выбирается один из прямоугольников и делается случайный разрез. Обозначим случайную величину равную произведению площадей прямоугольника. Тогда

$E(P|S_1,ldots,S_n)=frac{1}{n}sum_{k=1}^n frac{S_k^2}{6} S_1 S_2ldots hat{S}_k ldots S_n$

где $hat{S}_k$ обозначает пропущенный множитель. Преобразуя сумму, получаем:

$E(P|S_1,ldots,S_n)=frac{S_1 ldots S_n }{6n}$

Следовательно,

$E_{n}=E(E(P|S_1,ldots,S_n))=frac{E_{n-1}}{6n}=frac{1}{6^n n!}$

Тем самым утверждение полностью доказано.

Ответ :

Замечание

Решение от Chat GPT: https://chatgpt.com/share/68380177-b718-8004-83af-ada9dbd1e046

Задача B. Минимальный минимум

Пусть $xi_{1},xi_{2},dots$ — независимые положительные случайные величины, чья плотность пропорциональна

$p(x)=min { sqrt{x},1 } , cdot , min ! Bigl { frac{1}{x^{2}}, ,1 Bigr }, qquad x>0.$

Найдите предел по распределению при случайных величин

$kappa_{n}=Bigl(xi_{1},xi_{8},xi_{27},dotsm,xi_{lfloor n^{1/3}rfloor^{3}}Bigr)^{displaystyle min{xi_{1},xi_{4},xi_{9},dots,xi_{lfloorsqrt{n}rfloor^{2}}}},$

то есть функцию распределения такой случайной величины , что

$kappa_{n}xrightarrow{,d,}kappa .$

В качестве ответа требуется указать значение функции распределения
в точке $x_{0}=pi$ либо число ChatGPT на экзамене в ШАД 2025 - 51 , если последовательность $kappa_{n}$ не сходится по распределению. Введённое число должно отличаться от правильного ответа не более чем на~ $10^{-9}$ .

Решение

Рассмотрим логарифм $kappa_{n}$ :

$ln kappa_{n}=min{xi_{1},xi_{4},xi_{9},dots,xi_{lfloorsqrt{n}rfloor^{2}}} left( ln xi_1 + ln xi_8 + ln xi_{27},dotsm,ln xi_{lfloor n^{1/3}rfloor^{3}} right)=$ $=left(min{xi_{1},xi_{4},xi_{9},dots,xi_{lfloorsqrt{n}rfloor^{2}}}lfloor n^{1/3}rfloor right)left( frac{ln xi_1 + ln xi_8 + ln xi_{27},dotsm,ln xi_{lfloor n^{1/3}rfloor^{3}}}{lfloor n^{1/3}rfloor} right)=$

где мы ввели случайные величины

$M_n=min{xi_{1},xi_{4},xi_{9},dots,xi_{lfloorsqrt{n}rfloor^{2}}}lfloor n^{1/3}rfloor$ $S_n=frac{ln xi_1 + ln xi_8 + ln xi_{27},dotsm,ln xi_{lfloor n^{1/3}rfloor^{3}}}{lfloor n^{1/3}rfloor} .$

2. Анализ . В числителе для идет суммирование по кубическим индексам до ближайшего слева к куба. Всего таких индексов ${lfloor n^{1/3}rfloor}$ , что совпадает со знаменателем в . Следовательно, по закону больших чисел сходится по вероятности к . Ниже мы проверим, что конечно. Дадим чуть более формальное объяснение При имеем

$S_n=frac{1}{N} sum_{k=1}^N ln xi_{k^3} xrightarrow{ ,P ,} E ln xi_1$

при в силу закона больших чисел. Далее, заметим, что при
верно равенство:

$S_n=S_{N^3}.$

То есть последовательность является кусочно-постоянной и так как $S_{N^3} xrightarrow{ ,P ,} E ln xi_1$ при , то и $S_{n} xrightarrow{ ,P ,} E ln xi_1$ при .

3. Вычисление . По условию, плотность пропорциональна функции :

$p_{xi_1}(x)=c p(x).$

Найдём константу из условия нормировки плотности:

$int_{-infty}^{+infty} p_{xi_1}(x) dx=1.$

Имеем равенства:

$int_{-infty}^{+infty} p(x) dx=int_0^1 sqrt{x} dx + int_1^{+infty} frac{1}{x^2}dx=frac{2}{3} + 1=frac{5}{3}.$

Следовательно,

$c=frac{3}{5}.$

Для математического ожидание получаем:

$E ln xi_1=c left( int_{0}^{1} sqrt{x} ln x dx + int_1^{+ infty} frac{1}{x^2} ln x dx right)$ $=c left( frac{2}{3} x^{3/2} ln x Big|_0^{1} - frac{2}{3} int_{0}^{1} sqrt{x} dx + (- frac{1}{x} ln x) Big|_1^{+ infty} + int_1^{+ infty} frac{1}{x^2} dx right)=frac{3}{5} left( - frac{4}{9} + 1 right)=frac{1}{3}$

4. Анализ . Исследуем функцию распределения :

$F_{M_n}(x)=P(M_n leqslant x)=P left( min { xi_{1}, xi_{4},xi_{9}, dots, xi_{ lfloor sqrt{n} rfloor^{2}} } leqslant frac{x}{ lfloor n^{1/3} rfloor} right)=$ $=1 - Pleft(min{xi_{1},xi_{4},xi_{9},dots,xi_{lfloorsqrt{n}rfloor^{2}}} > frac{x}{lfloor n^{1/3}rfloor}right)=1 - left(Pleft( xi_{1}> frac{x}{lfloor n^{1/3}rfloor} right)right)^{lfloorsqrt{n}rfloor}=$ $=1 - left(1 - F_{xi_1}left( frac{x}{lfloor n^{1/3}rfloor} right)right)^{lfloorsqrt{n}rfloor}.$

Мы использовали обозначение $F_{xi_1}$ для функции распределения . Заметим, что при малых справедлива формула:

$F_{xi_1}(h)=frac{3}{5} int_0^h sqrt{x}dx=frac{2}{5} h^{frac{3}{2}}.$

Значит, при достаточно больших имеем

$F_{M_n}(x)=1 - left(1 - frac{2}{5} left(frac{x}{lfloor n^{1/3}rfloor}right)^{frac{3}{2}}right)^{lfloorsqrt{n}rfloor} longrightarrow 1 - expleft( - frac{2}{5} x^{frac{3}{2}} right)$

при для всех . Таким образом, мы доказали сходимость

$M_n xrightarrow{d} M,$

где случайная величина имеет распределение Вейбулла:

$F_M(x)=1 - expleft( - frac{2}{5} x^{frac{3}{2}} right).$

5. Завершение. В силу доказанного для последовательностей и и леммы Слуцкого, имеем

$ln kappa_{n}=S_n M_n xrightarrow{d} frac{1}{3} M$

Следовательно,

$kappa_{n}=e^{ ln kappa_{n}} xrightarrow{d} e^{ frac{1}{3} M}=kappa.$

Для функции распределения имеем равенства:

$F_{ kappa}(x)=P( kappa leqslant x)=P(e^{frac{1}{3} M} leqslant x)=P(M leqslant 3 ln x)=1 - exp left( - frac{2}{5} (3 ln x))^{ frac{3}{2}} right).$

В точке :

$F_{kappa}(pi)=0.9215768875297303236ldots$

Это и есть окончательный ответ.

Замечание

Решение Chat GPT : https://chatgpt.com/share/683800b8-6584-8004-96d7-8978af7c3453

Задача С. Большая ржака

Положительное число назовём потешным, если для всякой возрастающей последовательности положительных чисел ${x_n}_{ninmathbb N}$ такой, что

$lim_{ntoinfty} x_n=+infty quadtext{и}quad x_1>1,$

сходится ряд

$sum_{n=1}^{infty} frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1},ln^{alpha} x_{n+1}}.$

Найдите инфимум множества потешных чисел.

В качестве ответа выведите искомый инфимум с точностью до 9~знаков после запятой или ChatGPT на экзамене в ШАД 2025 - 116 , если множество потешных чисел пусто.

Решение

Разминка. Пусть , тогда общий член ряда равен

$frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1},ln^{alpha} x_{n+1}}=frac{1}{2 (ln 2)^{alpha} (n+1)^{alpha} }.$

Хорошо известно , что ряд с таким общим членом сходится тогда и только тогда, когда . Следовательно, потешных чисел меньших или равных ChatGPT на экзамене в ШАД 2025 - 120 не существует.

2. Общий случай. Докажем, что все числа являются потешными. Для всех справедливо:

$frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1} , ln^{ alpha} x_{n+1}}=int_{x_n}^{x_{n+1}} frac{1}{x_{n+1} , ln^{ alpha} x_{n+1}} dx leqslant int_{x_n}^{x_{n+1}} frac{1}{x, ln^{ alpha} x} dx=a_n$

Проанализируем ряд составленный из . Имеем:

$sum_{n=1}^{infty} a_n=int_{x_1}^{+infty} frac{1}{x,ln^{alpha} x} dx=int_{x_1}^{+infty} frac{1}{ln^{alpha} x} dleft(ln xright)=int_{ln x_1 }^{+infty} frac{1}{t^{alpha}} dt=frac{1}{alpha-1}frac{1}{(ln x_1)^{alpha-1}} < infty.$

Следовательно, по признаку сравнения числовых рядов, исходный ряд сходится и, значит, все числа являются потешными.

Ответ: 1.

Замечание

Решение от Chat GPT: https://chatgpt.com/share/6837fed8-c0e8-8004-9e29-a8bf0cdb2608

Задача D. Непростая задача

Найдите наибольшее такое простое число , что $p^{3}$ делит определитель матрицы

$begin{pmatrix} 2^{2} & 1 & 1 & cdots & 1\ 1 & 3^{2} & 1 & cdots & 1\ 1 & 1 & 4^{2} & cdots & 1\ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots\ 1 & 1 & 1 & cdots & (p+2025)^{2} end{pmatrix}.$

Решение

Данная матрица есть сумма матрицы $D=text{diag}(2^2-1,3^2-1,ldots(p+2025)^2-1)$ и матрицы из одних единиц. Раскладывая , используя линейность по каждой строке, получим, что он равен

плюс сумма определителей матриц, все строки которых суть строки матрицы , кроме -й строки, которая есть -я строка матрицы (то есть строка из одних единиц); при этом (так как если хотя бы две строки берутся из , то определитель равен 0). Следовательно,

$det(D+B)=(2^2-1) ldots((p+2025)^2-1) left(1+ dfrac{1}{2^2-1}+ ldots+ dfrac{1}{(p+2025)^2-1} right).$

Сосчитаем сумму в скобках:

$y=1+sum_{k=2}^{p+2025} frac{1}{k^2 - 1}=sum_{k=2}^{p+2025} frac{1}{(k-1)(k+1)}=sum_{k=2}^{p+2025} left( frac{1}{2} left( frac{1}{k-1} - frac{1}{k+1} right) right)=$ $=1+ frac{1}{2} sum_{k=2}^{p+2025} left( frac{1}{k-1} - frac{1}{k+1} right)=frac{1}{2} left( frac{1}{1} + frac{1}{2} - frac{1}{p+2025} - frac{1}{p+2026} right)=$ $=frac{7}{4} - frac{1}{2(p+2025)} - frac{1}{2(p+2026)}=frac{7(p+2025)(p+2026) - 2(p+2026) - 2(p+2025)}{4(p+2025)(p+2026)}.$

Сокращая на знаменатель, получаем:

$det(D+B)=xy, text{ где } x=(p+2024)!^2/8,; y=7(p+2025)(p+2026) - 4p-4051.$

Если , то делится на .

Числа, 2024, 2025, 2026 составные.

Если , то делится на , но не на , поэтому для делимости на необходимо и достаточно, чтобы делился на . Имеем

— разложение на простые. Поскольку все эти простые , то этот случай не подходит.

Итак, ответ — наибольшее простое, не превосходящее 2024, то есть 2017.

Ответ: ChatGPT на экзамене в ШАД 2025 - 158 .

Замечание

Решение от Chat GPT o3: https://chatgpt.com/share/68398cfb-7cec-8004-b4ee-d84cabedbbe8

Задача E. В царстве-государстве

В три-четырнадцать-пятнадцатом царстве в девяносто-два-и-шесть государстве
у царя Симбальто росла дочь-красавица — Азапентима. Чтобы сосватать дочь за самого достойного принца, он спрятал по всему королевству несколько сундуков с сокровищами.
В каждом сундуке лежит линейный оператор

$varphi : mathbb{R}^{3} longrightarrow mathbb{R}^{3},$

для которого многочлен

$f(t)=bigl(t^{2}+t+1bigr)bigl(t^{2}-3t+2bigr)bigl(t^{2}+2t+1bigr)$

является зануляющим. Кроме того, известно, что

у всех операторов разная жорданова нормальная форма;
для каждого оператора найдётся вектор $vinmathbb{R}^{3}$ такой, что линейная оболочка

$langle v,;varphi v,;varphi^{2}(v),dotsrangle$

совпадает со всем пространством $mathbb{R}^{3}.$

Царь выдаст Азапентиму замуж лишь за того принца, который отыщет все сундуки.
Царевич Анафроний понимает, что Симбальто хитёр: даже собрав все матрицы, принц рискует услышать, что найдено не всё. Поэтому нужно не только перечислить все возможные жордановы нормальные формы таких операторов, но и доказать, что других не существует.

Требуется. Найдите все возможные жордановы нормальные формы описанных
операторов.

Ответ. В качестве ответа введите количество сундуков (то есть количество различных жордановых форм) или , если задача не имеет решения.

Решение

Собственные значения данной матрицы $Ain text{M)_3(mathbb R)$ содержатся среди корней данного многочлена : , где $varepsilon=e^{2pi i/3}$ , значение ChatGPT на экзамене в ШАД 2025 - 169 может иметь (алгебраическую) кратность как 1, так и 2, а остальные значения — корни кратности 1.

Существование циклического вектора равносильно тому, что для каждого собственного значения существует ровно одна жорданова клетка со значением .

Наконец, так как — вещественная матрица, то сопряжённые числа и одновременно являются или не являются её собственными значениями.

Рассмотрим случаи.

В ЖНФ матрицы есть жорданова клетка размера . Тогда ЖНФ имеет вид

$begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & lambdaend{pmatrix}, text{ где } lambdain {1,2}.$

Таких матриц две.

ЖНФ матрицы диагональная. Если — собственное значение, то ЖНФ имеет вид

$begin{pmatrix} varepsilon & 0 & 0\ 0 & overline{varepsilon} & 0 \ 0 & 0 & lambda end{pmatrix}, text{ где } lambda in {1,2,-1}$

— три матрицы. Если не входит в спектр, то ЖНФ есть

$begin{pmatrix} varepsilon & 0 & 0\ 0 & overline{varepsilon} & 0 \ 0 & 0 & -1end{pmatrix}.$

Итого, 6 возможных ЖНФ.

Ответ: 6.

Замечание

Решение от Chat GPT o3: https://chatgpt.com/share/6835b3c1-6074-8004-9bbf-e29fe1d9fad8

Задача F. Никаких друзей

поступающих в ШАД пишут экзамен в одной аудитории с двухместными столами. Организаторам экзамена известно, что все человек разбиваются на непересекающихся троек друзей, а люди из разных троек не дружат между собой. Чтобы избежать списываний, нельзя сажать никаких двоих друзей за один стол.

Сколькими способами можно рассадить поступающих за столы по двое? (Рассадки, в которых люди сидят за одними и теми же столами, но в разном порядке, считаются различными.)

В качестве ответа введите искомое число рассадок для .

Введённое вами число должно отличаться от правильного ответа не более чем на $10^{-9}$ .

Решение

У нас есть треугольников, и надо разбить их (занумерованные) вершины на упорядоченные пары так, чтобы вершины одного треугольника были в разных парах. Будем разбивать на неупорядоченные пары и результат умножим на $2^{3n}$ . Всего имеется $dfrac{(6n)!}{(3n)!2^{3n}}$ разбиений точек на пары (здесь и далее — неупорядоченные). Для каждого обозначим через множестве разбиений, в которых какие-то вершины -го трееугольника находятся в одной паре. Так как пар вершин у каждого треугольника три, то