Считаем логарифмы в уме

В 1957 году писатель-фантаст Роберт Хайнлайн так представлял себе людей XXI века: «Делала перерасчет прочности гидропонических оранжерей, но выходило с ошибками. Дважды забывала логарифмы, так что пришлось лезть в таблицу».

Однако наша цивилизация выбрала другую ветку развития — и в нашей версии XXI века все за человека делают машины: от сложения двузначных чисел до написания статей на Хабре. Считать в уме, а уж тем более помнить наизусть логарифмы — звучит, как не самая востребованная сверхспособность.

Зато, чтобы обрести эту сверхспособность, не требуются укусы радиоактивных пауков — достаточно просто прочитать эту статью, а уж пригодится ли в жизни — решайте сами. Может быть в нужный момент калькулятора под рукой не окажется, а может быть просто захочется произвести впечатление на коллег небрежно брошенной фразой: «Корень седьмой степени из пяти это примерно 1,25». Хотите научится быстро считать? Тогда добро пожаловать под кат.

Вход в Гиперпространство

Как в фантастических произведениях космические корабли используют гиперпространство, чтобы сократить путь, так и логарифмы помогают сократить вычисления. Ведь в мире логарифмов все традиционные операции превращаются в своих младших братьев:

• умножение → сложение;

• деление → вычитание;

• возведение в степень → умножение;

• извлечение корня → деление.

Главная загвоздка — сперва нужно как-то попасть в «гиперпространство», а затем как-то из него выйти. Так как логарифмы нам нужны для «человеческих» вычислений, рассматр��вать будем не натуральный логарифм, король всех логарифмов, а самый гуманный из них — десятичный. Разработчики, безусловно, больше всего любят логарифм по основанию 2 — до него тоже доберемся чуть позже.

Нужно понимать, что вычисления будут приблизительными, не до последнего знака, а скорее чуть точнее, чем на уровне порядков. Тем не менее, иногда и такие прикидки бывают полезны. Итак, начнем с элементарщины.

Элементарщина

Начнем с самого простого — того, что вы прекрасно знаете и без этой статьи. Если число начинается с единицы, а дальше нули, то вычислить логарифм в уме не представляет вообще никаких проблем — нужно просто посчитать количество нулей.

И в обратную сторону:

Подсознательно мы уже используем логарифмы. Например, если нужно умножить 10 000 на 100 000, мы же не будет решать это «в столбик», просто посчитаем количество нулей. 

Следовательно: 

Если после единицы идут не нули — это не страшно, мы же считаем приблизительно. Например, логарифм числа 123 456 не равен точно шести, но где-то рядом — шести с копейками. Однако этого все равно недостаточно! Некоторые числа имеют наглость начинаться с пятерки, например. Что с ними делать?

Давайте найдем логарифмы всех чисел от 2 до 9. «Почему это важно?», — спросил бы я, если бы был большой языковой моделью. Смотрите. Если найти логарифм 5, то легко будет посчитать и логарифмы: 50, 500, 5 000 и так далее. А значит, можно приблизительно прикинуть и логарифмы в принципе любых чисел, которые начинаются с пятерки, даже если остальные цифры уже не нули.

А если найти логарифмы чисел от 2 до 9, то сможем примерно прикинуть логарифм вообще любого числа! Как это сделать? Один из вариантов — зазубрить таблицу логарифмов, как героиня рассказа Хайнлайна. Однако есть и более простой (хоть и менее точный) способ — посчитать самому. Причем, в уме! Давайте начнем.

Как известно, каждая формула уменьшает количество читателей вдвое. Увы, в статье по математике без формул не обойтись, однако они будут короткие и простые. Не пугайтесь!

Двойка

Как известно, в килобайте 1 000 байт, а в километре 1 024 метра, то есть:

Совершим прыжок в гиперпространство — возьмем логарифм и справ��, и слева. Справа получится три, тут даже думать не надо. Как помним, в мире логарифмов возведение в степень превращается в умножение. Следовательно:

И отсюда легко найти логарифм двойки:

Зная логарифм двойки, легко посчитать логарифмы и всех чисел в виде «двойка и много-много нулей»:

И в обратную сторону тоже:

Обратите внимание, что «уходя в минус» в дробной части получаем ,7 вместо ,3. Это логично, но не совсем интуитивно, о чем иногда забывают.

Степени двойки

Как уже не раз говорилось, в мире логарифмов степень превращается в умножение. Следовательно, мы теперь можем посчитать логарифм любой степени двойки:

Например:

Вуаля! Теперь мы знаем логарифм еще двух цифр — четверки и восьмерки.

Следовательно, знаем и логарифмы чисел, которые с них начинаются!

Пятерка

Еще один простой пример — пятерка:

В мире логарифмов умножение превращается в сложение:

Логарифм двойки мы уже знаем, следовательно:

Или можно рассуждать иначе. Мы уже видели, что:

А 0,2 — это одна пятая! Следовательно, логарифм пяти — это 0,7, уже без минуса.

Привал и промежуточные итоги

Давайте сделаем небольшую передышку перед следующим рывком. Используя простые арифметические операции, мы уже разгадали половину головоломки.

Помимо того, что мы можем считать логарифмы чисел, начинающихся с 1, 2, 4, 5 и 8, мы можем уже даже проводить кое-какие вычисления в уме. Например, очень легко возводить в десятую степень.

• Четыре в десятой степени — примерно миллион (6 нулей).

• Пять в десятой степени — примерно десять миллионов (7 нулей).

• Восемь в десятой степени — примерно миллиард (9 нулей).

А теперь задача со звездочкой: возведем пять в седьмую степень. Посчитаем в мире логарифмов:

Возвращаемся в реальный мир. Целая часть логарифма показывает порядок исходного числа, а дробная часть — мантиссу. Соответственно, 4 превращается в 10 000, 0,9 превращается в 8, итого:

Правильный ответ: 78 125. Достаточно близко. На «Битву экстрасенсов» пока рано, но удивить коллег уже можно.

Давайте продолжим и заполним недостающие элементы головоломки: 3, 6, 7 и 9. На первый взгляд даже непонятно, как к ним вообще подступиться. При этом 3, 6 и 9 явно взаимосвязаны, а вот семерка стоит как одинокий баобаб в саванне. С нее и начнем.

Лайфхак для счастливой семерки

Помните, с чего началась наша история успеха? Как мы победили двойку? Мы нашли такую степень двух, чтобы результат был похож на степень десяти.

В принципе, можно использовать такой же подход для любого числа, в том числе и для семи. Нужно найти подходящую степень:

Если под рукой есть калькулятор, можно нажать [7], [] и потом нажимать [=], пока не получим красивое число. Например:

(почти 10^5)

(почти 10^11)

Но это читерство! Если под рукой есть калькулятор, то используемый при его производстве криптонит отключает способность считать самостоятельно. Нет, мы будем считать сами, простыми человеческими нейронами. Из степеней семерки любой нормальный человек помнит только вторую.

И что это нам дает? Некрасивое число. Давайте сделаем его красивым.

А для чисел, начинающихся с пятерки, мы логарифмы считать уже умеем! Смело заходим в гиперпространство:

Делить 17 пополам — пусть и не самое приятное занятие, но вполне выполнимое в уме. В итоге получаем:

Повторяем трюк для девятки

С девяткой поступаем точно так же. 

1. Вспоминаем таблицу умножения:

2. Пока никто не видит, делаем небольшую поправочку в последнем знаке:

3. Вспоминаем наши предыдущие достижения и активируем гипердвигатель:

4. Подавляя отвращение, делим нечётное число пополам:

Тройка и шестерка

Ну и на закуску остались тройка и шестерка. Здесь уже лайфхаки не нужны, но последними в списке они оказались, потому что сперва нужно было узнать логарифм девяти. К тому же — спойлер! — здесь у нас получатся самые длинные, самые нервирующие результаты.

Итак:

В мире логарифмов:

Ответ:

А от тройки уже легко прийти к шестерке:

В мире логарифмов:

Подставляем:

Получаем:

Проверка результатов

Все белые пятна заполнены, задача выполнена. Однако вы наверняка уже обратили внимание, как часто я использовал слово «приблизительно». Давайте проверим, насколько правдивые результаты мы получили. Здесь, так уж и быть, разрешим себе на секундочку воспользоваться калькулятором — исключительно для того, чтобы проверить, насколько теплые ламповые результаты, полученные живым человеческим мозгом, отличаются от холодных ответов бездушной машины.

Точные ответы округляю до пятого знака после запятой, чтобы не пугать слишком длинными числами.

Относительная погрешность менее 1%. Не так уж и плохо для человека XXI века без киберимплантов! 

Хуже всего получилось с семеркой. Во-первых, потому что логарифм 50 на самом деле чуть меньше, чем 1,7, а во-вторых, 49 чуть меньше 50. Две погрешности усугубили друг друга. Куда точнее было бы приближение 11/13, но использовать его в расчетах не особо приятно.

В дальнейшем для чистоты эксперимента я буду использовать наши, пусть неточные, но зато самостоятельно найденные значения. К тому же, с ними проще работать: 0,475 хоть и выглядит сурово, но умножить его, скажем, на 4 куда проще, чем более корректное 0,477. Хотя иногда возможно будут удобнее другие приближения. Например, lg 6 в каких-то случаях удобнее представить как 7/9.

Итак, суперсила заряжена, давайте ее поскорее применять.

Задача о надежном пароле

Давайте решим в уме задачу, которую без калькулятора никак не решить.

Алиса использует в пароле буквы обоих регистров, цифры и спецсимволы (итого набор из 80 различных символов), длина ее пароля — восемь символов. 

Боб использует только буквы нижнего регистра и цифры (набор из 36 символов), но его пароль длиной 10 символов. 

Чей пароль надежнее? 

Нужно сравнить, что больше: 808 или 3610. Сперва рассмотрим пароль Алисы. Логарифм 80 мы уже знаем.

Возводим в степень «по-логарифмски»:

Теперь пароль Боба. Тут расчет чуточку длиннее. 36 — это шестью шесть, значит логарифм в два раза больше, чем у шести.

Возводим в степень:

Целая часть логарифма зависит от порядка числа, дробная — от мантиссы. 15 перед десятичной точкой говорит о том, что оба числа является 16-значным. Сколько-то квадриллионов. 

Как видим, результаты получились похожими, но длинный пароль из бедного набора символов оказался чуть-чуть надежнее, чем короткий пароль из широкого набора. Задача решена, но давайте ее еще немножко поскоблим.

Порядок чисел мы определили, а можем ли определить хотя бы первую цифру каждого числа? Сколько именно квадриллионов в каждом случае? Мантисса определяется дробной частью логарифма. Соответственно, в одном случае у нас 0,2, в другом случае 0,5. Как из этого получить мантиссу?

В таблице прямых соответствий нет, но можно найти интервалы, куда попадают эти значения.

• 0,2 идет перед двойкой, следовательно означает единицу.

• 0,5 идет почти сразу после тройки, следовательно тройку и означает.

Итак, у нас получилось:

Сравним с точными ответами:

С первой цифрой угадали, с порядком тоже. А вот дальше уже ну такое себе.

Проблема в том, что мы прекрасно научились считать логарифмы, но вот возвращаться обратно из мира логарифмов в реальный мир пока получается лишь на ощупь. Поэтому нужно освоить и обратную операцию — 10x. 

Выход из гиперпространства

Целая часть логарифма определяется порядком числа, с этим все просто. А дробная часть определяется мантиссой — и вот тут уже соответствие не очевидное. Давайте его найдем. 

Совсем ювелирная точность не требуется, но хотя бы первую цифру после запятой в логарифме попробуем дешифровать. Другими словами, нужно составить таблицу возведения десяти в степень от 0,0 до 0,9.

Частично она у нас уже есть:

Давайте найдем остальные. Опять же — в уме. И даже двумя способами. 

Способ 1: метод айфона

Выше мы уже обсуждали, как просто находить логарифм степени двух. Давайте рассмотрим чуть дальше.

Как видите, продолжая ряд, можем получить любую цифру после запятой. А избавиться от целой части логарифма достаточно легко, нужно просто разделить исходное число на 10 или на 100.

Например, lg1,6≈0,2. Соответственно, 10^(0,2)≈1,6.

Составим таблицу:

Числа все такие родные и близкие, легко запомнить! Методом айфона я его назвал, потому что если айтишником степени двойки известны почти с самого рождения, то простым людям они знакомы в основном по объему флеш-памяти.

Если мы вернемся к задаче с паролями, вооружившись новыми знаниями, то увидим:

Это уже гораздо ближе к правильному ответу!

Здесь стало чуть лучше первоначальной оценки, но увы, все-таки со второй цифры начинается ошибка. Приблизительные вычисления — «они такие».

Способ 2: метод пятерочки

Есть и другой метод посчитать степени. Он не такой очевидный и лаконичный, поэтому его сложнее удержать в памяти. Тем не менее, все действия тоже легко выполнить в уме.

Итак, в мире логарифмов деление превращается в вычитание, а когда возвращаемся в реальный мир, наоборот — вычитание превращается в деление.

Мы уже знаем, что:

Разница между ними как раз примерно 0,1. Это значит, что:

Соответственно, в обратную сторону:

Таким образом можно комбинировать и другие известные нам значения:

Следовательно:

Комбинировать 2, 4 и 8 между собой не имеет смысла, так как они близкая родня, а вот с пятеркой каждая из них дает что-то полезное.

0,5 и 0,8 пока остались за бортом. Это не беда, ведь мы теперь знаем, что 100,11,25, поэтому можно «шагнуть» от известных значений до следующих.

Для того, чтобы «подвинуть» степень на 0,1, нужно умножить на 1,25. 

100,8 примерно на 25% больше 100,7. То есть теперь уже из пятерочки выходим и поднимаемся вверх:

100,851,25=6,25

К 100,5 можно прийти двумя путями:

• 100,5 примерно на 25% больше, чем 100,4;

• 100,5 примерно в 2 раза меньше, чем 100,8.

Оба этих пути ведут к одинаковой оценке:

100,53,125

Составляем таблицу и видим, что при использовании этого метода значения получились немного другими. 

Сравнение результатов

Снова берём калькулятор и проверяем, насколько хороши полученные приближения, и какой из двух методов точнее.

Как видно, хоть метод пятерочки и сложнее, но зато дает более точные результаты. Объединим таблицы логарифмов и степеней и нарисуем собственную логарифмическую линейку.

Примеры

Пример 1

Теперь, когда у нас есть обе операции, можем вычислить не только 5^7, но и 5^(1/7), как и обещалось в начале статьи.

Зашли:

Посчитали:

Вышли:

Правильный ответ, для сравнения: 1,2585…

Пример 2

Найти 9^10. 

Зашли:

Посчитали:

Вышли:

Правильный ответ: 3 486 784 401.

Пример 3

Найти корень 3-й степени от 2 000 000.

Зашли:

Посчитали:

Вышли:

Правильный ответ: 125,9921…

Куда дальше?

Таблица умножения

Разумеется, что саму таблицу умножения считать через логарифмы смысла нет. Однако можно делать обратный процесс — раскладывать число на множители, чтобы найти его логарифм.

Например:

Отсюда можно получить логарифмы 1,5, 3,5 и 4,5 и заполнить промежуточные значения на «логарифмической линейке».

Или, например, более детально рассмотреть пространство между 20 и 30, и, соответственно, между 2 и 3.

Другие логарифмы

IT-специалистам чаще требуется двоичный логарифм. Умея считать логарифм по одному основанию, легко перейти к другому. 

Так как:

Следовательно:

Умножать на 10 — легче легкого, а вот делить на 3 уже не всегда приятно, но что поделать… Зато очень просто выполнять обратную операцию: зная логарифм по основанию 2, можно легко посчитать десятичный — достаточно умножить на 3, разделить на 10.

С натуральным логарифмом несколько сложнее. Нам нужно вычислить 1 e. И сделать это в уме на самом деле не так-то просто, и результат получается не особо точным. Тут проще сжульничать, и заранее посчитать на калькуляторе, коэффициент получается примерно 2,3.

Заключение

В процессе написания статьи я пытался придумать какую-то реалистичную ситуацию, когда бы эта методика реально пригодилась бы. Увы, ничего реалистичнее, чем «вы оказались в пустыне, и вам вдруг нужно срочно посчитать корень третьей степени от двух миллионов» в голову не пришло.

Поэтому практический смысл от всего выше написанного в наше время довольно туманен. Но надеюсь, это пригодится хотя бы как разминка для ума и альтернативный взгляд на школьную математику.