Сегодня математика считается крайне абстрактной наукой. На форумах наподобие Stack Exchange опытные математики насмехаются над новичками, просящими понятных объяснений эзотерических математических концепций, а постоянные попытки привязать основы математики к реальности стали визитной карточкой онлайн-сумасшедших.
Мне кажется это ироничным: тысячелетиями математика оставалась более-менее естественной наукой. У нас не было философского объяснения тому, почему 2 + 2 должно быть равно 4. Мы просто наблюдали происходящее вокруг нас и пытались вывести правила. Абстракции были важны, но они обязательно должны были обосновываться объективной реальностью. Согласованности аксиом было недостаточно: углы нашего гипотетического треугольника должны были соответствовать углам в реальном мире.
Тем не менее, даже в древности упование на интуитивную понятность временами казалось неприемлемым. В частности, особые вопросы вызывали результаты мысленных экспериментов, связанных с бесконечным повторением операций. Самый известный пример подобного — парадокс Зенона о движении. Если вы прогуляли этот урок, то представьте, что Ахиллес соревнуется в беге с черепахой:
Можно рассудить, что спустя какое-то время Ахиллес доберётся до исходного местонахождения черепахи (красная точка); однако ко времени, когда он туда добежит, животное переместится на некоторое расстояние вперёд (жёлтая точка):
Теперь рассмотрим время, необходимое для того, чтобы Ахиллес достиг жёлтой точки; когда он доберётся туда, черепаха тоже немного переместится. Этот процесс может продолжаться бесконечно; расстояние между ними становится меньше, но никогда не снижается до нуля, так что мы должны сделать вывод, что Ахиллес никогда не выиграет гонку.
Забавно, что вызванные бесконечностью проблемы веками оставались на периферии математики, заняв сцену только тогда, когда мы попытались решить их при помощи математического анализа. Матанализ дал нам строгое решение древней загадки: бесконечная сумма временных отрезков может быть конечным числом, поэтому Ахиллес всё-таки догонит черепаху. Но чтобы прийти к этому результату, эта новая область математики полагалась на предполагаемое существование бесконечно малых чисел. Основатели матанализа затруднялись объяснить, как создать подобные сущности, где найти их на вещественной числовой оси (нигде), да и вообще, можно ли их смешивать с алгеброй вещественных чисел.
Это заставило некоторых математиков попытаться создать более общую модель математики, начав с основания, то есть с принципов формальной логики. В частности, одна выдающаяся фракция решила определить числа и арифметические операции способом, полностью независимым от физического мира.
Ей богу, господин Пеано, всё сходится
В конце 19-го века Джузеппе Пеано успешно ответил на этот вызов. Его система постулирует существование единственного начального числа (а именно нуля) и определяет функцию следования S(…). Эта функция не делает ничего конкретного; у неё определено всего несколько базовых свойств, но по большей мере это просто способ сигнализировать о том, что каждое последующее число имеет некое отношение направленности с предыдущим.
Это позволяет нам определить нам числа (на самом деле, всего лишь коллекцию меток) исключительно в отношении следования от нуля:
Оператор «:=» обозначает «определяется как»; мы будем использовать его, чтобы отличать определения первого порядка от результатов, которые выведем позже.
Повторюсь, не зацикливайтесь на том, что значит S(��). Она просто сообщает нам, что «1» образовано от «0», «2» образовано от «1» и так далее. Если использовать грубую метафору, то можно сказать, что мы не описываем, как делают детей, а просто говорим «это родитель», «а это ребёнок».
Хотя это кажется скучным, такая схема редуцирует многие другие задачи до процесса индукции и рекурсии. Например, для решения 2 + 2 пришельцу из другого мира не придётся априори обладать знанием, что такое «2» и «+». Мы можем научить его концепции сложения при помощи следующих двух правил:
Эта запись может показаться абстрактной, поэтому чтобы разобраться в ней, войдём в роль инопланетянина и попытаемся вычислить 2 + 2.
Так как второй операнд не равен нулю, мы пока не можем применить первое правило. Тем не менее, из способа построения чисел Пеано мы знаем, что метка «2» означает то же самое, что S(1). В свете этого, мы можем переписать 2 + 2 таким образом, чтобы можно было воспользоваться вторым правилом:
Итак, мы показали, что 2 + 2 эквивалентно S(2 + 1). Чтобы решить исходное уравнение, нам всё равно нужно найти значение вложенного сложения: 2 + 1. Это можно сделать, ещё раз применив ту же технику подстановки:
Мы переформулировали 2 + 2 в виде S(2 + 1), а затем 2 + 1 в виде S(2 + 0). Узрите же — сложение, вложенное в это последнее выражение, позволяет нам воспользоваться правилом 1. Правило гласит, что a + 0 = a, то есть 2 + 0 = 2; из этого следует, что S(2 + 0) эквивалентно S(2).
Кроме того, из способа построения чисел Пеано мы знаем, что для S(2) выбранной меткой будет 3; следовательно, 2 + 1 = 3. Разобравшись с этим, вернёмся к исходному этапу, где мы выразили 2 + 2 в виде S(2 + 1). Поставляем 3 вместо 2 + 1 и получаем конечный ответ:
Если вы работаете с ПО, то можете оценить следующий код на C, реализующий примерно ту же логику (демо):
#include <stdio.h>
struct number { char* label; struct number* next; }
five = { "5", NULL }, four = { "4", &five }, three = { "3", &four },
two = { "2", &three }, one = { "1", &two }, zero = { "0", &one };
struct number* succ(struct number* num) { return num->next; }
struct number* pred(struct number* num) {
struct number* ret = &zero;
while (succ(ret) != num) ret = succ(ret);
return ret;
}
struct number* add_numbers(struct number* num_a, struct number* num_b) {
if (num_b == &zero) return num_a;
return succ(add_numbers(num_a, pred(num_b)));
}
int main() {
printf("2 + 3 = %sn", add_numbers(&two, &three)->label);
}В этой программе мы не используем встроенные integer, а начинаем с однонаправленного связанного списка строк: «0» → «1» → «2» → «3» → «4» → «5». Эта структура данных кодирует взаимосвязь следования между метками, не придавая им никакого другого смысла.
Далее мы определяем тривиальную вспомогательную функцию succ(x), которая возвращает последователя x, а также чуть более сложную функцию pred(x), находящую элемент, для которой x является последователем. add_numbers(a, b) — это простая реализация пары рекурсивных правил сложения Пеано, которые были показаны выше.
Повторюсь, удобство такого подхода заключается в том. что он позволяет нам моделировать любую арифметику без каких-либо внешних допущений о природе чисел, смысле оператора сложения и так далее. Мы использовали привычные метки (0, 1, 2, 3, 4, …), но могли бы выбрать любую другую упорядоченную коллекцию абстрактных символов (🥔, 🎵, 🐸, 🌀, 🐱, …). В таком случае мы бы получили эквивалентную модель математики, в которой 🐸 + 🐸= 🐱.
Разумеется, для повседневных задач арифметика Пеано слишком неудобна; она используется лишь в качестве минимальной модели для теоретической работы. Она применяется аналогично тому, как в computer science применяются машины Тьюринга; никто не захочет пользоваться Интернетом через подобный компьютер, но если доказать, что для машины Тьюринга P = NP, это будет иметь последствия и для более практичных компьютерных архитектур.
Числа из множеств
Описанный выше подход стал революционным и привёл к таким открытиям, как теорема Гёделя о неполноте; однако у него всё равно нет хорошей модели для бесконечных величин. Для её реализации математикам пришлось обратить свой взор на ещё более экзотичную сферу: теорию множеств.
В теории множеств числа определяются, как метки конкретных упорядоченных множеств. Чтобы приступить к процессу построения, нам достаточно лишь пустого множества, существование которого мы примем как аксиому. В целях построения чисел пометим это множество, как «ноль»:
Чтобы определить число-последователя, мы добавляем во множество элемент. Чтобы не изобретать произвольные новые элементы, можно просто добавить во множество последователя введенное ранее число «ноль»:
Если это вам непонятно, то можете представить, что множества — это коробки. Мы начинаем с пустой коробки с нулём элементов внутри; затем мы упаковываем коробку и помещаем её в контейнер побольше, так что он теперь содержит один элемент. При таком подсчёте содержимое малой упакованной коробки не имеет никакого значения.
После этого мы не можем определить следующего последователя, как {0, 0}; причина в том, что в стандартной теории множеств каждый элемент множества должен быть уникальным. Тем не менее, как говорилось выше, «голый» элемент n отличается от коробки, содержащей этот элемент (например, нового множества {n}), поэтому мы можем сделать следующее:
Обратите внимание, что второй элемент {0} этого нового множества тот же, который мы построили для описания «1». Иными словами, этот способ построения эквивалентен выражению 2 = {0, 1}.
Чтобы получить третьего последователя, нам нужно поместить во множество ещё один элемент. На этом этапе мы не можем снова использовать 0 и 1, но можем вставить недавно созданное множество, описывающее 2:
Этот процесс мы можем продолжать, сколько захотим. Например:
В теории множеств создаваемые нами метки называются ординалами. Обратите внимание что каждый ординал — это множество всех предшествующих ординалов, и что множество никогда не содержит само себя.
Если вы видите параллели с итеративным построением чисел Пеано, то это не случайно; два подхода концептуально похожи, только в этом случае внутренняя математическая структура каждого числа проявляется более явно. Общий алгоритм заключается в том, что мы строим число n + 1, комбинируя содержимое предыдущего множества n с копией n, заключённой в новое множество. Операция соединения множеств называется объединением (∪), поэтому мы можем формализировать функцию следования Пеано для ординалов следующим образом:
Бесконечность не предел
Почти все математики согласны с существованием бесконечных множеств, прототипным примером которых может служить множество всех натуральных чисел ℕ. Каждое натуральное число само по себе конечно, но верхней границы величины этих чисел не существует; если выбрать некоторое n, можно всегда придумать число n + 1.
Упорядоченное множество всех натуральных чисел выглядит, как результат нашей методики построения ординалов; то есть, как если бы мы бесконечно продолжали этот процесс:
Возникает любопытный вопрос: может ли множество работать в качестве бесконечного ординала (то есть бесконечного числа) и если да, то какими числовыми свойствами оно будет обладать?
Ну, мы сразу можем сказать, что такой ординал не будет членом ℕ: каждый элемент множества ℕ конечен. Следовательно, можно прийти к выводу, что ординал не должен быть последователем никакого натурального числа: если n — это член ℕ, то членом является и n + 1, а значит, наличие отношения следования между конечным и бесконечным числами приведёт к тому же противоречию.
Может ли существовать такой неограниченный, бесконечный ординал? Мы сами можем это решить: такая гипотеза не приводит никаким очевидным парадоксам, открывая при этом доступ к странной, но временами полезной математике.
Мы можем назвать этот ординал ω; повторюсь, в описании теории множеств он имеет всего лишь такой вид:
Разумеется, придуманный символ — это не такое уж большое достижение; главный вопрос заключается в том, можем ли мы в соответствии с аксиомами теории множеств вывести из этой загадочной сущности какую-нибудь полезную арифметику.
В школе вы могли видеть примерно такую запись:
В предыдущей статье я пошутил, что эта запись — всего лишь более красивое сообщение об ошибке в калькуляторе: оно только сообщает нам, что результат слишком большой для вещественных чисел:
Тем не менее, если вы привыкли рассуждать о бесконечности в подобном ключе, то, вероятно, предположите, что это правило должно быть применимо и к настоящим бесконечным числам, то есть что ω должно быть эквивалентно ω + 1. Давайте проверим эту гипотезу.
В соответствии с привычными правилами Пеано, мы можем выразить сумму ω + 1, как ω + S(0); это выражение, в свою очередь, эквивалентно S(ω + 0) = S(ω). Напомню, что функция следования теории множеств получает исходное бесконечное множество натуральных чисел (ω = ℕ) и затем встраивает это множество, как новый элемент для построения следующего ординала. Мы получаем следующее:
Ранее мы установили, что само ω не может быть членом ℕ, потому что при этом оно станет натуральным числом, а значит, конечной величиной. Однако наше построенное множество, соответствующее ω + 1, очевидно, содержит этот элемент; это говорит нам о том, что это множество категорически отличается от ℕ. Мы должны прийти к выводу, что ω ≠ ω + 1. В частности, поскольку ω + 1 содержит ω и находится выше в порядке ординалов, можно записать их отношение, как ω < ω + 1.
Если вы всё ещё не убеждены, что множества количественно различаются, то можно сделать ещё два дополнительных наблюдения. Во-первых, множество ω не имеет наибольшего элемента, однако ω + 1, очевидно, имеет. Во-вторых, ω содержало всего один элемент, который не был последователем натурального числа (0), однако ω + 1 содержит два (0 и ω). Иными словами, если бесконечные множества существуют, ω и ω + 1 различаются по множеству важных аспектов.
Но чтобы вы не чувствовали себя слишком комфортно в этой новой реальности, скажу, что сложение, затрагивающее бесконечные ординалы, необязательно коммутативно! Рассмотрим следующую сумму: 1 + ω. Строго говоря, для нахождения решения мы не можем воспользоваться предыдущим подходом: второй операнд не является последователем никакого натурального числа, что не позволяет нам воспользоваться исходной подстановкой, требуемой по правилам Пеано. В комментарии под этим постом я привёл более строгий подход; тем не менее, очень неформально, мы можем представить, что прибавление ω сводится к бесконечному инкременту первого операнда:
Вспомним. что мы определили ординал 1, как множество из одного элемента, содержащее ноль: {0}. Начав с этого множества и применив функцию следования, мы построили ординал 2 — ещё одно название для {0, 1}. Следующее применение функции даёт нам 3, то есть {0, 1, 2}:
Если мы повторим эту операцию бесконечное количество раз, то получим бесконечное множество { 0, 1, 2, 3, 4, … }. Элемент ω не является последователем ни одного натурального числа, потому, в отличие от предыдущего случая ω + 1, он не может попасть во множество благодаря многократному применению S(…). При более внимательном изучении ординал, представляющий 1 + ω, кажется неотличимым от ℕ. Мы знаем, что ω — это ещё одно название ℕ, поэтому можем записать следующее уравнение: 1 + ω = ω. Несколько абзацев назад мы показали, что ω < ω + 1. Это приводит к неожиданному результату: 1 + ω < ω + 1.
Можно задаться вопросом, является ли некоммутативное сложение нарушением одной из аксиом стандартной арифметики. Не является из-за одного тонкого момента: правила применимы только к конечным числам, например, к членам ℕ. К счастью для нас, ω не приглашено в этот клуб.
Прежде, чем закончить, давайте рассмотрим ещё один интересный пограничный случай: ω + ω (то есть ω · 2). Опять-таки, очень неформально мы можем проанализировать это, начав с ω = { 0, 1, 2, 3, 4, … }, а затем итеративно расширяя множество через бесконечно повторяемую операцию следования. Сначала мы добавим ω, затем ω + 1, затем ω + 2 и так далее:
Завершение этого упорядоченного множества — бесконечная последовательность последователей ω; как и во всех предыдущих случаях, ω · 2 не может быть членом самого себя, поэтому ω · 2 должно быть недостижимо инкрементом ω. Это аналогично тому, как ω нельзя достичь инкрементом конечного числа; разрыв повторяется для каждого кратного ω.
Кардинально новое решение
Возникает желание сказать, что каждое из наших чисел теории множеств описывает количество элементов соответствующего множества:
Однако в мире бесконечных чисел это подозрительное утверждение. Если начать считать элементы с одного, мы никогда не доберёмся до ω или дальше, потому что между счётом чисел и бесконечными ординалами нет отношения следования. При такой методике размер любого бесконечного множества кажется невычисляемым.
К счастью, есть много разных способов рассуждений о размерах множеств без применения подсчёта. Проще всего объявить, что множество A меньше множества B, если A является строгим подмножеством B. Например, мы можем утверждать, что { 🐱, 🥔} меньше, чем { 🐱, 🥔, 🐸 }.
Также мы можем считать два множества имеющими эквивалентную «величину», если можно попарно сопоставить их элементы. Это называется биективным отображением (биекцией). Не важно, какой элемент сопоставляется с каким, если ни в одном из множеств не останется элементов без пары:
Эта мера эквивалентности на основании соответствия «один к одному» называется кардинальностью.
Для конечных множеств концепции очень просты, но представим множество натуральных членов рядом с множеством каждого чётного числа (давайте назовём его E). Очевидно, что E — строгое подмножество натуральных чисел, поэтому, по нашему первому правилу, E меньше ℕ. Также очевидно, что если мы построим наиболее очевидное соответствие — каждое число e в E с тем же числом n в ℕ — то в результате получим бесконечное множество нечётных чисел без пары на стороне ℕ; из-за этого возникает желание прийти к выводу, что размер этих множеств не совпадает.
Однако следующее соответствие «один к одному» вполне приемлемо:
Это работает, потому что множества бесконечны, но содержат только конечные числа. Для любого конечного n, взятого из ℕ, n умноженное на два будет тоже конечным, а потому его можно найти в E. Так как существует хотя бы одна биекция, мы говорим, что множество естественных чисел имеет бесконечную кардинальность — алеф-ноль, ℵ0 — и что кардинальность множества чётных чисел такая же.
Существуют ли другие бесконечные кардинальности? Как показал Георг Кантор, да! Предположим существование некого произвольного соответствия между каждым натуральным числом и каждой бесконечной десятичной дробной последовательностью, представляющей вещественные числа от 0 до 1, например:
Эти значения выбраны для иллюстрации, но конкретика здесь не важна; мы просто предполагаем, что существует некое соответствие один к одному. Наша цель — проверить, может ли быть справедливым это общее предположение.
Чтобы показать, что не может, давайте построим дробное представление нового вещественного числа d. Мы начнём с показанной выше первой строки:
Возьмём подчёркнутый (первый) десятичный разряд последовательности, а затем выберем любое отличающееся от него значение в качестве соответствующей цифры в d. В этом случае, единственной исключённой цифрой будет 1, поэтому мы можем выбрать 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Давайте возьмём 6:
Затем перейдём ко второй строке, на этот раз в поисках второго десятичного разряда, по сути, следуя по диагональному паттерну, подчёркнутому в схеме присвоения. Для второй десятичной цифры d мы снова выберем любое значение, отличающееся от помеченной в строке 2 цифры; так как подчёркнута 5, мы можем выбрать 2:
В третьей строке можно заменить 9 на 1; в четвёртой строке давайте заменим 5 на 4. В пятой строке поменяем 1 на 3; в шестой строке используем 8 вместо 7. Продолжим следовать по диагональному паттерну до бесконечности:
Что особенного в этом результате? Исходя из построения, d не ассоциирована ни с одним целым числом, потому что отличается как минимум на один разряд от любой десятичной последовательности в соответствии. Например мы никогда не сможем найти соответствие для строки 1, потому что первый десятичный разряд равен 6 вместо 1; не соответствует она и строке 2, потому что второй десятичный разряд равен 2 вместо 5. В то же время, d — это десятичная последовательность, а следовательно, член ℝ; то, что она не ассоциируется с целым числом, противоречит возможности соответствия один к одному между двумя множествами, даже если ограничиться вещественным интервалом от 0 до 1.
Об этом результате можно думать так: соответствие не может существовать, потому что невозможно перечислить все вещественные числа, даже если список продолжается вечно. Всегда можно указать на отсутствующий элемент. Иными словами, ℝ «неперечислимо» (точнее, несчётно), а его кардинальность (кардинальность непрерывного множества) больше, чем у ℕ (ℵ0).
Существуют ли какие-то кардинальности между ℕ и ℝ? Математики считают, что нет, но эта гипотеза доказуемо неразрешима в условиях традиционных аксиом теории множеств.
«Мне это не нравится»
На переломе веков работа Георга Кантора вызвала сильное смятение и споры. Автор претерпевал бесконечные издёвки со стороны другого, более известного математика — Леопольда Кронекера, а позже страдал от глубокой депрессии. Сегодня результаты Кантора признаны большинством математиков, но они продолжают вызывать стычки на онлайн-форумах и в личных блогах.
Основным возражением против выводов Кантора стало то, что может существовать только один вид бесконечности; как может быть множество разновидностей «бесконечных повторений»? Разумеется, если вы дочитали до этой строки, то уже знаете, что если мы допускаем существование бесконечного множества натуральных чисел, то логичным образом придём к иерархии бесконечностей с разными ординалами. Кардинальности Кантора — это лишь вишенка на торте.
Ещё одно распространённое, но поверхностное возражение заключается в том, что понятие кардинальности не согласуется с другими возможными способами измерения размера множеств. Как мы уже говорили, это так, но противоречие не такое глубокое, как может показаться: кардинальность — это лишь одна из многих возможных иерархий размеров, и в случае бесконечных множеств эти иерархии не могут согласоваться.
Прочие возражения относятся к процедурным. Например, ни нахождение соответствия между ℕ и ℝ, ни построение d невозможно завершить за конечное время — так существуют ли вообще эти математические объекты? Вопрос справедливый, однако он создаёт порочный круг рассуждений: изначально мы исходили из того, что ℕ существует, несмотря на то, что это множество невозможно получить конечной процедурой. Если мы откажемся от понятия бесконечных объектов, то не существует ни ℕ, ни ℝ, ни кардинальностей.
Более любопытное процедурное замечание заключается в том, может ли быть нечто контринтуитивное в бесконечных десятичных последовательностях. В представленном выше рассуждении десятичные дроби, по сути, являются строками, но мы знаем, что в таком подходе есть некоторые тонкости: например, 0,999… = 1, поэтому не каждая уникальная последовательность разрядов соответствует уникальному вещественному числу. Можно легко обойти эту проблему, ограничив количество разрядов, используемых при построении d, но в фундаментальном смысле, если ℝ — это единственный интуитивно понятный пример множества высокой кардинальности, возможно, в процесс рассуждений вкралась какая-то небольшая ошибка?
Вместо того, чтобы возиться с десятичными дробями, можно отойти от ℝ и воспользоваться концепцией множеств всех подмножеств. Множество всех подмножеств, обозначаемое красивой буквой 𝒫 — это просто коллекция всех возможных подмножеств какого-то другого множества. Например, если мы возьмём X = {A, B, C}, то 𝒫(X) содержит следующие восемь подмножеств:
Для перечисления этих подмножеств можно просто считать в двоичном виде; для каждого из трёх элементов мы принимаем двоичный выбор, включать или не включать его, что даёт нам 23 возможных результатов:
Если ℕ существует, то кажется непротиворечивым также допустить существование множества всех его множеств 𝒫(ℕ). Бесконечные множества всех множеств не являются в математике необходимостью, однако нет очевидных причин допускать одни, но запрещать другие.
Если мы допустим 𝒫(ℕ), то должны прийти к выводу, что его кардинальность выше, чем у ℕ. Чтобы показать это, мы начнём с допущения о существовании произвольного соответствия между каждым элементом n в ℕ и каждым элементом x в 𝒫(ℕ). Пример этого показан слева:
Нас не беспокоит механика присвоения; как и ранее, вопрос заключается в том, может ли существовать какое-нибудь непротиворечащее соответствие.
В квадратах справа показана визуальная подсказка: они представляют собой бесконечный битовый оверлей; квадраты в каждой строке обозначают, какие элементы ℕ встречаются в подмножестве x слева.
С учётом этого соответствия мы построим новое множество D, следуя по подчёркнутому диагональному паттерну двоичного представления. Мы включаем число n в D тогда и только тогда, когда подчёркнутый квадрат пуст, то есть если само n не встречается в подмножестве, парой для которого его выбирают. Для примера, в первой строке число n = 1 не включено в x = {2, 5}, поэтому мы помещаем n в D; эта ситуация повторяется в строках 2 и 5. В строках 3 и 4 n встречается в x, поэтому мы пропускаем его. Результат будет таким:
Как и ранее, множество D, очевидно не имеет пары с целым числом, потому что отличается от каждого x на хотя бы один элемент. В то же время, D — это просто коллекция натуральных чисел, поэтому должно встречаться во множестве всех множеств 𝒫(ℕ). Таким образом, мы пришли к противоречию. Нельзя перечислить каждый член 𝒫(ℕ), чтобы построить соответствие. Кардинальности различаются; биекции между ℕ и 𝒫(ℕ) не существует.
В качестве отступления давайте поразмыслим над тем, что мешает нам провести соответствие между натуральными и натуральными, а затем воспользоваться аргументом диагональности, чтобы показать, что кардинальность ℕ отличается от ℕ. Отличие в том, что ℝ можно представить, как коллекцию всех бесконечных десятичных дробей (например, ⅓ = 0.333…). Аналогично, 𝒫(ℕ) — это коллекция всех бесконечных двоичных последовательностей. В таких случаях любая новая бесконечная последовательность, полученная движением по бесконечной диагонали, гарантированно будет находиться во множестве. И наоборот: все члены ℕ конечны, даже если само множество никогда не заканчивается. Из этого следует невозможность допущения о том, что новая составленная бесконечная последовательность разрядов будет соответствовать члену ℕ. А если составленная последовательность не находится в ℕ, то она ничего не опровергает.
Реально ли всё это?
Возможно. Если бесконечность таится в каких-нибудь тёмных уголках физической вселенной, то, мы, вероятно, не сможем со всей определённостью выяснить её количественные характеристики. При их отсутствии мы пользуемся инструментарием для создания странных миров, переформулирующих правила формальной логики всё более безумным образом, иногда помогая при этом доказательству одной-двух теорем.
Из-за безумного поведения бесконечных множеств одна из отраслей математики отрицает их существование из философских соображений. Да что уж там: небольшая группа математиков даже полностью отрицает существование бесконечности. Сложность заключается в том, что такие решения требуют отказа от больших объёмов полезной математики, или, по крайней мере, отказа от объяснения того, почему мы выполняем вычисления определённым образом.
В какой-то степени, это может быть и не особо важным: математический анализ обычно по-прежнему преподаётся без строгого обоснования пределов и бесконечно малых. С другой стороны, как может признать большинство изучающих матанализ студентов, это недостаточно удовлетворительный подход с точки зрения интеллекта.
Столь же важно ещё и то, что без этих удивительно запутанных понятий бесконечности было бы трудно поддерживать свой снобизм и отпугивать от математики всякое отребье.
Автор: PatientZero
